Матпраздник 2024 год · учебный сезон 2023/24 · Математика · 7 кл., №6

Условие

Разрежьте первый параллелограмм на три части и сложите из них второй.

Официальный рисунок. У первого основание 6 клеток и высота 2, у второго — 4 и 3.

О задаче · 7 класс · 9 баллов

Олимпиада: Математический праздник
Предмет / класс: Математика · 7 класс
Сезон / этап: 2024 год · учебный сезон 2023/24 · Классический Матпраздник
Комплект: задача 6

Официальные баллы9 баллов

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 7 класс.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеОткрыть модель

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Своя попытка

Исследуй задачу

Сделай свои разрезы и сложи второй параллелограмм из полученных частей.

Без интерактива можно перенести исходный рисунок на клетчатую бумагу. В решении показаны разрезы, все три переноса и конечная сборка в одном масштабе.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

У фигур равные площади: 6×2 и 4×3. Но нужен не только подсчёт: найди три части, которые можно реально переложить.

Подсказка 2

Разрез не обязан быть прямым. Попробуй отделить слева узкую часть, а второй разрез сделать ломаным, со ступенькой на средней линии.

Разобрать решение по шагам

Наметим два разреза по сетке

На схеме ниже начало отсчёта — левый нижний угол первого параллелограмма; клетка служит меркой. Первый разрез соединяет нижнюю отметку 1 с верхней отметкой 3. Второй идёт по ломаной: снизу от отметки 5 — на одну клетку вправо и вверх, затем на две клетки влево, затем на одну вправо и вверх. Получаются ровно три части.

Л — левая часть, С — средняя, П — правая. Ломаная проходит через узлы сетки; в интерактиве можно сделать свой разрез.

Перенесём части, сохраняя форму

Среднюю часть сдвинем на одну клетку влево. Левую — на четыре клетки вправо и одну вверх. Правую — на две клетки влево и одну вверх. Ни одну часть не растягиваем и не поворачиваем: достаточно трёх переносов.

Те же три части после переносов. Клетки нарисованы в том же масштабе; площади частей равны 3, 6 и 3.

Проверим общий контур

Нижняя сторона новой фигуры имеет длину 4 клетки, верхняя параллельна ей и такая же. Высота равна 3 клеткам; боковые стороны поднимаются на 3 клетки и уходят на 3 клетки вправо — как во втором параллелограмме. На рисунке видно, что внутренние границы соседних частей совпадают. Чтобы проверить отсутствие скрытой щели, проследим каждую горизонтальную полосу высоты 1: части в ней идут подряд от левого края до правого без пропусков и наложений. Получился требуемый параллелограмм.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

Подходит разрезание и перенос трёх частей, показанные на схемах. Второй разрез — ломаный.

Главная идея

Разрез можно подбирать вместе с будущими переносами: ступенька у одного куска должна заполняться соседним куском.

Как заметить эту идею в другой задаче

В задачах на перекраивание равные площади — только начало. Ищи совпадающие границы и не ограничивайся прямыми разрезами.

Возможная ошибка

Считать, что разрезы обязаны быть прямыми, или принять одинаковую площадь за доказательство правильной сборки.

Источник и примечания

Официальный источник

Материал организатора · задача 6 ↗

Математический праздник · 2024 год · учебный сезон 2023/24 · математика · 7 класс · классический матпраздник.

Авторы: Т. Голенищева-Кутузова.

Официальное решение · страницы 11, 12 ↗

Условие и рисунки сверены с официальным источником. Авторское решение подготовлено до чтения официального; доказательство проверено отдельно и сопоставлено с материалами организатора.

Можете объяснить идею своими словами?

Продолжить тему: Преобразования и разбиения →

Тема, знания и приёмы

Преобразования и разбиения · Продвинутая подготовка

Клетчатая сетка, площадь и перенос

Приёмы решения: Дополнительное построение · Координаты и проекции

Задать вопрос по задаче →