Три цвета за две минуты

Найдём запрещённый выбор двух соседей

Предположим, что каждому удалось побывать во всех трёх цветах. Значит, его цвета в начале, через минуту и через две минуты различны.

Рассмотрим трёх подряд стоящих хамелеонов $X,Y,Z$. Если при первом изменении и $X$, и $Z$ взяли первоначальный цвет $Y$, то через минуту оба соседа $Y$ будут этого цвета. На второй минуте $Y$ неизбежно вернётся к своему первоначальному цвету. Поэтому такой двойной выбор невозможен.

Распространим выбор через одного

Назовём одно направление обхода круга движением вперёд. Пусть $X$ взял цвет у следующего хамелеона $Y$. Тогда $Z$, следующий после $Y$, не может взять цвет у $Y$ — это запрещённый случай из первого шага. Значит, $Z$ тоже берёт цвет впереди себя.

Так выбор вперёд передаётся через одного. Если он есть хотя бы у одного хамелеона, назовём его место первым. Получим места $1,3,5,\ldots,35$, затем $2,4,6,\ldots,34$: при переходе через одного после $35$ идёт $2$. Мы посетили все $35$ мест. Поэтому все первые выборы направлены одинаково. Если выбора вперёд вообще не было, все выбирали назад; тогда просто назовём это направление движением вперёд.

Второй выбор тоже вынужден

Итак, через минуту каждый имеет первоначальный цвет следующего хамелеона. Теперь взять цвет предыдущего нельзя: предыдущий как раз получил наш собственный первоначальный цвет. Получился бы повтор. Значит, на второй минуте все опять берут цвет следующего.

Таким образом, один хамелеон последовательно имеет первоначальные цвета своего места, следующего и места через одного. Все три должны быть разными.

Вынуждены полные тройки цветов

Значит, в начале любые три подряд стоявших хамелеона должны иметь три разных цвета. Четвёртый цвет обязан совпасть с первым: он отличается от второго и третьего, а цветов всего три. Точно так же пятый совпадает со вторым, шестой — с третьим. И дальше порядок повторяется через каждые три места.

Проверим замыкание круга из 35 мест

Но $35=3\cdot11+2$. По установленному повторению места $1,4,7,\ldots,34$ имеют одинаковый первоначальный цвет. При этом места $34,35,1$ стоят подряд на круге. В этой тройке два цвета совпадают — противоречие. Следовательно, добиться трёх цветов у каждого хамелеона нельзя.