Математика · 2024 год · учебный сезон 2023/24 · Классический Матпраздник

Углы треугольников в раме

Условие

Коля пришёл в музей современного искусства и увидел квадратную картину в раме необычной формы, состоящей из 21 равного треугольника. Коля заинтересовался, чему равны углы этих треугольников. Помогите ему их найти.

К условию
Официальный рисунок к условию: сохранены исходная конфигурация, все угловые метки и треугольник ABCABC. Обозначения решения здесь не добавлены.
О задаче · 7 класс · 5 баллов
Олимпиада
Математический праздник
Предмет / класс
Математика · 7 класс
Сезон / этап
2024 год · учебный сезон 2023/24 · Классический Матпраздник
Комплект
задача 2
Официальные баллы5 баллов
Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 7 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Посмотрите не на всю сложную раму, а на углы квадратной картины. Где одинаковые углы треугольников вместе образуют прямой угол?

Подсказка 2

В левом верхнем углу два угла с пустым кружком составляют 90°. В правом верхнем углу снаружи квадрата находятся один такой угол и три угла без отметки.

Разобрать решение по шагам
01

Назовём три угла

Все 2121 треугольник равны. Обозначим угол с пустым кружком через α\alpha, угол без метки — через β\beta, а угол с чёрной точкой — через γ\gamma. Это три вида углов одного и того же треугольника; сохраняем отметки исходного рисунка.

К этому шагу
αβγ○ одинаковые углы αβ — угол без метки● одинаковые углы γ
Исходные отметки сохранены: пустой кружок у α, чёрная точка у γ; угол β не отмечен.
02

Начнём с самого простого угла квадрата

В левом верхнем углу картины продолжение её верхней стороны влево и левая сторона вниз образуют прямой угол. Он разделён на два угла с пустым кружком. Поэтому

2α=90∘,α=45∘.2\alpha=90^\circ,\qquad \alpha=45^\circ.
К этому шагу
Левый верхний угол картиныКартинаααДва отмеченных угла составляют 90°.α + α = 90°
Левый верхний угол в той же ориентации, что на общей схеме. Пунктир — продолжение верхней стороны картины.
03

Используем полный оборот вокруг другой вершины

В правом верхнем углу картины квадрат занимает 90∘90^\circ, а оставшиеся 360∘−90∘=270∘360^\circ-90^\circ=270^\circ заполнены одним углом α\alpha и тремя углами β\beta. Значит,

α+3β=270∘,\alpha+3\beta=270^\circ,
3β=270∘−45∘=225∘,3\beta=270^\circ-45^\circ=225^\circ,
β=225∘:3=75∘.\beta=225^\circ:3=75^\circ.
К этому шагу
Правый верхний угол картиныКартина90°βββαСнаружи: β + β + β + α = 270°
Правый верхний угол в той же ориентации, что в источнике. Три угла β не имеют чёрных точек; α отмечен пустым кружком. Белый сектор занимает картина.
04

Найдём третий угол

Сумма углов любого треугольника равна 180∘180^\circ. Поэтому

γ=180∘−45∘−75∘=60∘.\gamma=180^\circ-45^\circ-75^\circ=60^\circ.

Мы использовали две вершины квадрата, а не пытались разбирать всю раму сразу.

Ответ

45∘45^\circ, 75∘75^\circ, 60∘60^\circ.

Главная идея

Из сложного рисунка выделить небольшие узлы с известной суммой углов.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если вокруг квадрата или прямой уложены равные треугольники, ищите места, где повторяющиеся углы составляют 90°, 180° или 360°.

Возможная ошибка

Решать по измерению углов на экране. Рисунок подсказывает связи, а значения нужно получить из равенств.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 2 · задача 2 ↗

Математический праздник · 2024 год · учебный сезон 2023/24 · математика · 7 класс · классический матпраздник.

Авторы: И. Русских.

Официальное решение · страницы 8, 9 ↗

Условие сверено с официальным источником. Выполнены авторская проверка доказательства, отдельная редакционная самопроверка и сверка с официальным материалом. Независимой экспертной проверки пока не было.

Можете объяснить идею своими словами?

Продолжить тему: Треугольники и углы →
Тема, знания и приёмы

Треугольники и углы · Начальный вход

  • Сумма углов треугольника
  • Прямой и полный углы

Приёмы решения: Дополнительное построение

Задать вопрос по задаче →
Учебная схема