Матпраздник 2024 год · учебный сезон 2023/24 · Математика · 7 кл., №1

Условие

Расставьте в клетки квадрата 3×3 различные целые положительные числа, не большие 25, так, чтобы в любой паре соседних по стороне клеток одно число делилось на другое.

О задаче · 7 класс · 4 балла

Олимпиада: Математический праздник
Предмет / класс: Математика · 7 класс
Сезон / этап: 2024 год · учебный сезон 2023/24 · Классический Матпраздник
Комплект: задача 1

Официальные баллы4 балла

Сложность Popov Academy2/5 · предварительно

Для подготовки: 7 класс.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеОткрыть модель

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Своя попытка

Исследуй задачу

Заполни девять клеток своими числами и проверь все соседние пары.

Нарисуй таблицу 3×3. После заполнения проверь 6 горизонтальных и 6 вертикальных пар, различие чисел и границы от 1 до 25.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Какая клетка соседствует сразу с четырьмя? Какое число удобно поставить в неё?

Подсказка 2

Поставь рядом с центром небольшие разные числа. Чем можно заполнить угол, чтобы он делился сразу на двух своих соседей?

Разобрать решение по шагам

Облегчим четыре связи сразу

В центре четыре соседа — больше, чем у любой другой клетки. Поставим туда $1$ любое целое число делится на него. Сверху, слева, справа и снизу разместим $2,3,4,5$

Каждый угол согласуем с двумя соседями

В верхнем левом углу нужны делимость с $2$ и с $3$ Подойдёт их произведение $6$ Так же ставим в остальные углы: $2\cdot4=8$ $3\cdot5=15$ $4\cdot5=20$ Получается таблица, показанная ниже.

Каждый угол — произведение двух соседних чисел. В центре — единица.

Проверим всё условие

Все девять чисел $1,2,3,4,5,6,8,15,20$ различны, положительны и не больше $25$ Четыре пары у центра подходят, поскольку в центре $1$ Остальные восемь пар соединяют угол с одним из двух сомножителей — значит, число в углу делится на соседнее. Проверены все $12$ пар.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

Например, строки: $6, 2, 8$ $3, 1, 4$ $15, 5, 20$

Главная идея

Сначала облегчи самые многочисленные ограничения, затем достраивай остальные клетки общими кратными.

Как заметить эту идею в другой задаче

В числовой таблице посмотри, где больше всего соседей, и ищи число, которое сразу согласуется со многими.

Возможная ошибка

Проверять диагонали вместо соседей по стороне или забыть, что все девять чисел должны быть различны.

Источник и примечания

Официальный источник

Материал организатора · задача 1 ↗

Математический праздник · 2024 год · учебный сезон 2023/24 · математика · 7 класс · классический матпраздник.

Авторы: И. Ященко.

Официальное решение · страницы 8 ↗

Условие и рисунки сверены с официальным источником. Авторское решение подготовлено до чтения официального; доказательство проверено отдельно и сопоставлено с материалами организатора.

Можете объяснить идею своими словами?

Продолжить тему: Делимость и простые множители →

Тема, знания и приёмы

Делимость и простые множители · Продвинутая подготовка

Деление с остатком

Приёмы решения: Сравнение остатков · Ограниченный перебор

Задать вопрос по задаче →