Задача 4. Два квадрата

Что будем доказывать

На рисунке видно, что $DB$ и $DG$ похожи на равные. Будем доказывать $DB=DG$.

У треугольников $BED$ и $GED$ сторона $ED$ общая, а $EB=EG$ как стороны квадрата $BEGF$. Если ещё и углы $BED$ и $GED$ равны, то треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, и тогда $DB=DG$.

Перпендикуляр из $D$

Пусть сторона квадрата $BEGF$ равна $2$, тогда $EC=CG=1$. Опустим из $D$ перпендикуляр $DP$ на прямую $EG$.

Сравним прямоугольные треугольники $BEC$ (прямой угол $E$) и $CPD$ (прямой угол $P$). Их гипотенузы $BC$ и $CD$ равны — это стороны квадрата $ABCD$. Угол $BCD$ прямой, поэтому $\angle BCE+\angle DCP=90^\circ$; а в треугольнике $BEC$ тоже $\angle BCE+\angle CBE=90^\circ$. Значит, $\angle DCP=\angle CBE$, и треугольники равны по гипотенузе и острому углу:

Угол $PED$ равен $45^\circ$

Точка $P$ лежит на прямой $EG$ за точкой $E$ (ведь $CP=2$ длиннее, чем $CE=1$). Поэтому

Треугольник $EPD$ прямоугольный и равнобедренный, значит, $\angle PED=45^\circ$.

Углы при $E$ равны

Угол $BEP$ прямой (это угол квадрата, продолженный за $E$), поэтому

Углы $GED$ и $PED$ дополняют друг друга до развёрнутого, поэтому

Вывод

В треугольниках $BED$ и $GED$: $EB=EG$, сторона $ED$ общая, $\angle BED=\angle GED=135^\circ$. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому $DB=DG$, и треугольник $BDG$ равнобедренный.