Матпраздник 2023 год · учебный сезон 2022/23 · Математика · 7 кл., №2

Условие

Посреди пустого бассейна стоит квадратная платформа $50 \times 50$ сантиметров, расчерченная на клеточки $10 \times 10$ см. На клетки платформы Лена ставит башенки из кубиков $10 \times 10 \times 10$ см. Потом Таня включает воду. Если высоты башенок были такие, как в таблице справа, то при уровне воды $5$ см был $1$ остров, при уровне воды $15$ см было два острова (если острова «граничат по углу», то считаются отдельными островами), а при уровне воды $25$ см все башенки оказались закрыты водой и стало $0$ островов.

Придумайте, какие башенки из кубиков можно поставить, чтобы количество островов было следующим:

Уровень воды (см)	$5$	$15$	$25$	$35$	$45$
Количество островов	$2$	$5$	$2$	$5$	$0$

В ответе напишите в каждой клетке квадрата $5$ на $5$ сколько кубиков на ней стоит.

Рисунок к условию

О задаче · 7 класс

Олимпиада: Математический праздник
Год: 2023 (учебный сезон 2022/23)
Предмет / класс: Математика · 7 класс
Вариант: Классический

Сначала проверь пример из условия: почему при $5$ см один остров, а при $15$ см — два? Потом строй свои башенки. В модели «Построй острова» выбирай высоту и ставь башенки на клетки, переключай уровень воды — она посчитает острова на всех пяти уровнях и сравнит с таблицей.

Ответ — таблица $5\times 5$ в каждой клетке число кубиков. Подойдёт любая таблица, у которой на пяти уровнях получается $2, 5, 2, 5, 0$ островов.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПострой острова

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Построй острова

Выбери высоту башенки и ставь её на клетки. Переключай уровень воды — модель раскрасит острова и сравнит их число на всех уровнях с условием.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Как исследовать без модели

Нарисуй квадрат 5×5 и впиши в клетки высоты. Для каждого уровня (5, 15, 25, 35, 45 см) обведи клетки, где кубиков не меньше 1, 2, 3, 4, 5, и посчитай группы, соединённые сторонами.

Подсказка 1

Начни с самого высокого уровня и спускайся вниз. Что означает «при $45$ см — $0$ островов»? А «при $35$ см — $5$ островов»?

Подсказка 2

При $35$ см над водой должны быть $5$ отдельных клеток высоты $4$ При $25$ см их надо соединить башенками высоты $3$ в два острова. При $15$ см добавь три отдельные клетки высоты $2$ а при $5$ см всё должно слиться в два острова.

Разобрать решение по шагам

Как читать уровни

Кубик высотой $10$ см. При уровне воды $5$ см над водой торчат все клетки, где стоит хотя бы $1$ кубик; при $15$ см — где хотя бы $2$ при $25$ см — хотя бы $3$ при $35$ см — хотя бы $4$ при $45$ см — хотя бы $5$

Остров — это группа таких клеток, соединённых сторонами. Будем строить башенки сверху вниз: от самого высокого уровня к самому низкому.

$45$ см и $35$ см: пять пиков

При $45$ см островов нет, значит, нигде нет $5$ кубиков: все башенки не выше $4$

При $35$ см нужно $5$ островов: поставим $5$ башенок по $4$ кубика так, чтобы никакие две не граничили по стороне. Например, три — в левом столбце (в строках $1, 3, 5$ ) и две — в правом (в строках $1$ и $3$ ).

Пять пиков высоты 4 (выделены): никакие два не граничат по стороне — при 35 см это 5 островов.

$25$ см: два острова

При $25$ см пики должны слиться в два острова. Соединим их башенками по $3$ кубика: в левом столбце в строках $2$ и $4$ (три левых пика стали одним островом), в правом столбце в строке $2$ (два правых пика — другим).

$15$ см: ещё три отдельных острова

При $15$ см нужно $5$ островов, а два уже есть. Добавим три отдельные клетки по $2$ кубика, которые не граничат ни с чем высоты $2$ и выше: например, в третьем столбце в строках $1$ и $3$ и в правом нижнем углу.

При 15 см над водой клетки высоты 2 и больше: два острова из пиков и трёх клеток по 3 и ещё три отдельные клетки высоты 2 (выделены).

$5$ см: два острова

Осталось сделать так, чтобы при $5$ см было ровно $2$ острова. Второй столбец оставим пустым — он разделяет левую и правую части. Все остальные клетки справа заполним хотя бы одним кубиком: тогда правая часть сольётся в один остров, а левый столбец — второй остров.

Получилась таблица:

$4$	$0$	$2$	$1$	$4$
$3$	$0$	$1$	$1$	$3$
$4$	$0$	$2$	$1$	$4$
$3$	$0$	$1$	$1$	$1$
$4$	$0$	$1$	$1$	$2$

Проверка

Проверим подсчётом на всех уровнях. При $5$ см: левый столбец ( $4,3,4,3,4$ ) — один остров, вся правая часть (столбцы $3$ – $5$ везде хотя бы $1$ кубик) — второй; второй столбец пуст. При $15$ см: левый столбец, правый столбец в строках $1$ – $3$ и три отдельные «двойки» — $5$ островов. При $25$ см: левый столбец и правый столбец в строках $1$ – $3$ — $2$ острова. При $35$ см: пять «четвёрок», никакие две не соседние — $5$ При $45$ см — $0$ Компьютер посчитал острова этой таблицы на всех уровнях: $2, 5, 2, 5, 0$

Ответ

Подходит, например, такая таблица (число кубиков в каждой клетке):

$4$	$0$	$2$	$1$	$4$
$3$	$0$	$1$	$1$	$3$
$4$	$0$	$2$	$1$	$4$
$3$	$0$	$1$	$1$	$1$
$4$	$0$	$1$	$1$	$2$

Она не единственная.

Ответ

Подходит, например, такая таблица (число кубиков в каждой клетке):

$4$	$0$	$2$	$1$	$4$
$3$	$0$	$1$	$1$	$3$
$4$	$0$	$2$	$1$	$4$
$3$	$0$	$1$	$1$	$1$
$4$	$0$	$1$	$1$	$2$

Она не единственная.

Главная идея

Строим рельеф сверху вниз: сначала самые высокие клетки (пики) — они дают острова при высокой воде, потом соединяем или разделяем их клетками пониже, чтобы получить нужное число островов на каждом следующем уровне.

Признаки: нужно придумать пример, у которого несколько свойств зависят друг от друга «по слоям». Начни со слоя с самыми жёсткими требованиями (здесь — самый высокий уровень воды) и добавляй следующие слои так, чтобы не испортить уже сделанное.

Где легко ошибиться

Считать острова, соединённые углом, одним островом. Ещё одна ошибка — строить снизу вверх: при низкой воде легко получить $2$ острова, но потом трудно добиться $5$ островов при $35$ см. И не забудь: при $45$ см не должно быть ни одной башенки из $5$ кубиков.

Источник и авторство

Математический праздник 2023 года · классический вариант · 7 класс, задача 2 [4 балла] · автор задачи Т. И. Голенищева–Кутузова, И. В. Ященко.

Условия 2023 года (сайт праздника) ↗ · Бланк 7 класса (PDF) ↗ · Решения организатора (PDF) ↗ · Сайт Математического праздника ↗

Условие — с сайта праздника, рисунок перерисован по оригиналу. Подсказки, решение, рисунки и модель — Popov Academy. Задача сначала решена самостоятельно, затем ответ сверен с решением организатора: Ответ — пример таблицы; у организатора другой пример, наш построен самостоятельно и проверен на всех уровнях.

Продолжить тему: Преобразования и разбиения →

Тема, знания и приёмы

Преобразования и разбиения · Начальный вход

Острова считаются по соседству сторонами

Приёмы решения: Разделение пространства поиска · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →

$4$	$0$	$2$	$1$	$4$
$3$	$0$	$1$	$1$	$3$
$4$	$0$	$2$	$1$	$4$
$3$	$0$	$1$	$1$	$1$
$4$	$0$	$1$	$1$	$2$

$4$	$0$	$2$	$1$	$4$
$3$	$0$	$1$	$1$	$3$
$4$	$0$	$2$	$1$	$4$
$3$	$0$	$1$	$1$	$1$
$4$	$0$	$1$	$1$	$2$

$4$	$0$	$2$	$1$	$4$
$3$	$0$	$1$	$1$	$3$
$4$	$0$	$2$	$1$	$4$
$3$	$0$	$1$	$1$	$1$
$4$	$0$	$1$	$1$	$2$

$4$	$0$	$2$	$1$	$4$
$3$	$0$	$1$	$1$	$3$
$4$	$0$	$2$	$1$	$4$
$3$	$0$	$1$	$1$	$1$
$4$	$0$	$1$	$1$	$2$

$4$	$0$	$2$	$1$	$4$
$3$	$0$	$1$	$1$	$3$
$4$	$0$	$2$	$1$	$4$
$3$	$0$	$1$	$1$	$1$
$4$	$0$	$1$	$1$	$2$

$4$	$0$	$2$	$1$	$4$
$3$	$0$	$1$	$1$	$3$
$4$	$0$	$2$	$1$	$4$
$3$	$0$	$1$	$1$	$1$
$4$	$0$	$1$	$1$	$2$

Условие

Исследуй задачу

Как читать уровни

454545 см и 353535 см: пять пиков

252525 см: два острова

151515 см: ещё три отдельных острова

555 см: два острова

Проверка

Где легко ошибиться

$45$ см и $35$ см: пять пиков

$25$ см: два острова

$15$ см: ещё три отдельных острова

$5$ см: два острова

$4$	$0$	$2$	$1$	$4$
$3$	$0$	$1$	$1$	$3$
$4$	$0$	$2$	$1$	$4$
$3$	$0$	$1$	$1$	$1$
$4$	$0$	$1$	$1$	$2$

$4$	$0$	$2$	$1$	$4$
$3$	$0$	$1$	$1$	$3$
$4$	$0$	$2$	$1$	$4$
$3$	$0$	$1$	$1$	$1$
$4$	$0$	$1$	$1$	$2$

$4$	$0$	$2$	$1$	$4$
$3$	$0$	$1$	$1$	$3$
$4$	$0$	$2$	$1$	$4$
$3$	$0$	$1$	$1$	$1$
$4$	$0$	$1$	$1$	$2$