Аня называет дату красивой, если все $6$ цифр её записи различны. Например, $19.04.23$ — красивая дата, а $19.02.23$ и $01.06.23$ — нет. А сколько всего красивых дат в $2023$ году?

Посреди пустого бассейна стоит квадратная платформа $50 \times 50$ сантиметров, расчерченная на клеточки $10 \times 10$ см. На клетки платформы Лена ставит башенки из кубиков $10 \times 10 \times 10$ см. Потом Таня включает воду. Если высоты башенок были такие, как в таблице справа, то при уровне воды $5$ см был $1$ остров, при уровне воды $15$ см было два острова (если острова «граничат по углу», то считаются отдельными островами), а при уровне воды $25$ см все башенки оказались закрыты водой и стало $0$ островов.

Придумайте, какие башенки из кубиков можно поставить, чтобы количество островов было следующим:

В ответе напишите в каждой клетке квадрата $5$ на $5$, сколько кубиков на ней стоит.

Сто сидений карусели расположены по кругу через равные промежутки. Каждое покрашено в жёлтый, синий или красный цвет. Сиденья одного и того же цвета расположены подряд и пронумерованы 1, 2, 3, ... по часовой стрелке. Синее сиденье № 7 противоположно красному № 3, а жёлтое № 7 — красному № 23. Найдите, сколько на карусели жёлтых сидений, сколько синих и сколько красных.

Два квадрата расположены как на рисунке, отмеченные отрезки равны. Докажите, что треугольник $BDG$ равнобедренный.

В параллели $7$-х классов $100$ учеников, некоторые из которых дружат друг с другом. $1$ сентября они организовали несколько клубов, каждый из которых основали три ученика (у каждого клуба свои). Дальше каждый день в каждый клуб вступали те ученики, кто дружил хотя бы с тремя членами клуба. К $19$ февраля в клубе «Гепарды» состояли все ученики параллели. Могло ли получиться так, что в клубе «Черепахи» в этот же день состояло ровно $50$ учеников?

У царя есть $7$ мешков с золотыми монетами, в каждом по $100$ монет. Царь помнит, что в одном мешке все монеты весят $7$ г, во втором $8$ г, в третьем $9$ г, в четвёртом $10$ г, в пятом $11$ г, в шестом $12$ г, в седьмом $13$ г, но не помнит, где какие.

Царь сообщил это придворному мудрецу и указал на один из мешков. Мудрец может вынимать из этого и из других мешков любое количество монет, но на вид они все одинаковы. Однако у мудреца есть большие двухчашечные весы без гирь (они точно покажут, равны ли веса на чашках, а если нет, то какая чашка тяжелее). Может ли мудрец определить, какие монеты в указанном мешке, сделав не более двух взвешиваний?