Матпраздник 2023 год · учебный сезон 2022/23 · Математика · 7 кл., №1

Условие

Аня называет дату красивой, если все $6$ цифр её записи различны. Например, $19.04.23$ — красивая дата, а $19.02.23$ и $01.06.23$ — нет. А сколько всего красивых дат в $2023$ году?

О задаче · 7 класс

Олимпиада: Математический праздник
Год: 2023 (учебный сезон 2022/23)
Предмет / класс: Математика · 7 класс
Вариант: Классический

Найди несколько красивых дат сам: в какие месяцы они бывают, с каких чисел? Можно ли найти красивую дату в январе? В модели «Охота на красивые даты» выбирай месяц и день — она подсветит повторяющиеся цифры и соберёт найденные красивые даты в список.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеОхота на красивые даты

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Охота на красивые даты

Выбирай месяц и день 2023 года — модель запишет дату шестью цифрами, подсветит повторы и соберёт найденные красивые даты.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Как исследовать без модели

Выпиши месяцы 01–12 и вычеркни те, где есть 2, 3 или две одинаковые цифры. Посмотри, какие цифры остались для дня, и проверь несколько дат.

Подсказка 1

Цифры $2$ и $3$ уже заняты годом. Выпиши все месяцы, которые для красивой даты вообще подходят. Что у них общего?

Подсказка 2

Во всех подходящих месяцах есть цифра $0$ Значит, день не может начинаться с $0$ — и с $2$ или $3$ тоже. С какой цифры начинается день и какие месяцы после этого остаются?

Разобрать решение по шагам

Год забирает цифры $2$ и $3$

Запись даты в $2023$ году оканчивается на $23$ поэтому в дне и месяце не должно быть ни $2$ ни $3$ и все четыре их цифры должны быть разными.

Какие месяцы подходят

Месяцы $02, 03, 12$ не подходят (есть $2$ или $3$ ), месяц $11$ — тоже (две единицы). Остаются

01,\ 04,\ 05,\ 06,\ 07,\ 08,\ 09,\ 10.

В каждом из них есть цифра $0$

Какие дни подходят

Первая цифра дня — это $0$ $1$ $2$ или $3$ Цифры $2$ и $3$ заняты годом, а $0$ — месяцем. Значит, день начинается с $1$ это одно из чисел $10$ – $19$

Тогда в месяце не должно быть единицы: месяцы $01$ и $10$ отпадают. Остаются шесть месяцев: $04, 05, 06, 07, 08, 09$

Вторая цифра дня

Вторая цифра дня не может быть $0$ (есть в месяце), $1$ (уже первая цифра дня), $2$ и $3$ (год). Остаются $4, 5, 6, 7, 8, 9$ — дни с $14$ по $19$ Но одна из этих цифр совпадает со второй цифрой месяца: например, в апреле ( $04$ ) не подходит $14$

Значит, в каждом из шести месяцев ровно $5$ красивых дат, а всего

6\cdot 5=30.

Месяцы 04–09 и дни 14–19: красивы все даты, кроме диагонали, где последняя цифра дня совпадает с последней цифрой месяца. 6 × 5 = 30.

Проверка

Проверим перебором: компьютер прошёл по всем $365$ дням $2023$ года, записал каждую дату шестью цифрами и проверил, что все цифры разные. Красивых дат ровно $30$ по $5$ в апреле, мае, июне, июле, августе и сентябре, и все они с $14$ -го по $19$ -е число.

Ответ

В $2023$ году $30$ красивых дат.

Ответ

В $2023$ году $30$ красивых дат.

Главная идея

Считаем, отсекая лишнее по шагам. Год занимает $2$ и $3$ все подходящие месяцы содержат $0$ поэтому день начинается с $1$ тогда месяц без единицы — $04$ – $09$ вторая цифра дня — одна из $4$ – $9$ кроме цифры месяца. Получается $6\cdot 5=30$

Признаки: нужно посчитать записи, где все цифры разные, и на цифры есть ограничения. Начни с самой «занятой» позиции (здесь — год, потом месяц) и смотри, какие цифры она забирает у остальных; выбор на каждом шаге перемножается.

Где легко ошибиться

Забыть, что все подходящие месяцы содержат ноль, и считать дни вида $04$ $05$ …. Или забыть исключить день, у которого вторая цифра совпадает с цифрой месяца, и получить $6\cdot 6=36$

Источник и авторство

Математический праздник 2023 года · классический вариант · 7 класс, задача 1 [4 балла] · автор задачи М. А. Евдокимов.

Условия 2023 года (сайт праздника) ↗ · Бланк 7 класса (PDF) ↗ · Решения организатора (PDF) ↗ · Сайт Математического праздника ↗

Условие — с сайта праздника. Подсказки, решение, рисунки и модель — Popov Academy. Задача сначала решена самостоятельно, затем ответ сверен с решением организатора: Ответ совпадает с ответом в решениях организатора (book.pdf 2023).

Продолжить тему: Подсчёт вариантов →

Тема, знания и приёмы

Подсчёт вариантов · Нужна школьная база

Правило умножения: если первое можно выбрать a способами, а второе при каждом выборе — b способами, то всего a· b способов

Приёмы решения: Последовательный подсчёт без повторов · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →

Условие

Исследуй задачу

Год забирает цифры 222 и 333

Какие месяцы подходят

Какие дни подходят

Вторая цифра дня

Проверка

Где легко ошибиться

Год забирает цифры $2$ и $3$