Мнения после диалогов

Найдите сохраняющийся остаток

Обозначим количества сторонников через $A,B,C$. Посмотрим, как один диалог меняет разность $A-C$:

Во всех случаях остаток $A-C$ при делении на $3$ сохраняется.

Получите верхнюю оценку

Вначале $A-C=31-6=25$, что даёт остаток $1$ при делении на $3$. Когда $C=4$, разность $A-4$ должна давать тот же остаток, поэтому $A$ даёт остаток $2$. Всего людей по-прежнему $50$, значит, $A+B=46$ и $A\le46$. Наибольшее число не больше $46$ с нужным остатком — $44$. Таким образом, $A\le44$.

Достигните границы допустимыми диалогами

Проведём три диалога между сторонниками $a$ и $b$, а затем восемь — между сторонниками $b$ и $c$:

Каждая последняя беседа добавляет двух сторонников $a$ и убирает по одному стороннику $b$ и $c$. На каждом шаге нужные участники существуют: перед восемью последними диалогами их $10$ и $12$. Поэтому $44$ достижимо и является максимумом.

Что изменится при другом прочтении

Если после первого достижения $C=4$ разрешить ещё диалоги и больше не требовать $C=4$, максимум $A$ равен $49$. Из достигнутого состояния можно пройти так:

Первая стрелка — два диалога $b$–$c$, затем один $a$–$c$ и один $b$–$c$. Значение $50$ невозможно: остаток $A-B$ при делении на $3$ изначально равен $0$ и сохраняется, а в состоянии $(50,0,0)$ он был бы равен $2$. Это другое прочтение не соответствует официальному решению.