Курчатов 2025/26 · Математика · 8 кл., №2

Условие

На плоскости расположены $N$ пиратских баз, где $N>10$ одна из них — Тортуга. Расстояния между любыми двумя различными парами баз не совпадают. С каждой базы одновременно выходит корабль к ближайшей другой базе. Какое наибольшее число кораблей может направиться в Тортугу?

О задаче · 8 класс · баллы не подтверждены

Олимпиада: Курчатов
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: задача 2

Официальные баллыНе подтверждены

Сложность Popov Academy—/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

От ограничения к допустимому примеру

Вершины немного сдвинуты по-разному: пятиугольник уже не правильный, T не задана как его центр. К пяти ближним базам добавлены пять удалённых, поэтому здесь N = 11. Меняйте малые сдвиги и выбирайте базу: её ближайший сосед вычисляется заново. Все предложенные положения сохраняют разные попарные расстояния.

Небольшое изменение пяти вершин

Ползунок предлагает 21 допустимую расстановку с малыми сдвигами, а не любые возможные положения баз.

База A выбирает T. Расстояние до ближайшей: 0,96658; до следующей по близости: 1,124. Первое строго меньше.

В T направляются 5 кораблей: A, B, C, D, E. Все 55 попарных расстояний различны; ближайшая база у каждой определена однозначно.

Длины даны в общей условной единице и округлены. Два фрагмента рисунка увеличены по-разному; расстояние между группами на рисунке не показано.

Численный пример помогает увидеть устойчивость выбора; общее доказательство для любого N дано в разборе.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Если две базы $A$ и $B$ обе выбирают Тортугу $T$ сравните $AB$ с $AT$ и $BT$ Что это говорит об угле $ATB$

Подсказка 2

Для верхней оценки упорядочьте лучи $TA$ вокруг $T$ Чему равна сумма углов между соседними лучами? Сравните её с ограничением на каждый угол из первой подсказки.

Разобрать решение по шагам

Ограничьте угол между двумя прибывающими кораблями

Пусть базы $A$ и $B$ отправляют корабли в $T$ Так как ближайшая база выбирается однозначно,

AT<AB,\qquad BT<AB.

В треугольнике $ATB$ сторона $AB$ самая длинная, поэтому противолежащий угол $ATB$ больше каждого из двух остальных. Отсюда

\angle ATB>60^\circ.

Иначе все три угла были бы не больше $60^\circ$ причём два строго меньше, и их сумма оказалась бы меньше $180^\circ$ Если $A,B,T$ лежат на одной прямой, обе базы могут выбирать $T$ только по разные стороны от него, с углом $180^\circ$

Если A и B выбирают T, сторона AB длиннее каждой из сторон AT и BT.

Докажите, что шесть кораблей невозможны

Предположим, что в $T$ направились хотя бы шесть кораблей. Возьмём шесть соответствующих лучей и упорядочим их вокруг $T$ Шесть промежутков между соседними лучами в сумме дают $360^\circ$ поэтому хотя бы один не больше $60^\circ$ Две базы на сторонах такого промежутка противоречат доказанному свойству. Значит, кораблей не больше пяти.

Среди шести промежутков между лучами найдётся угол не больше 60°.

Постройте устойчивую конфигурацию для пяти кораблей

Поставим $T$ в центр правильного пятиугольника, а пять баз — в его вершины на расстоянии $1$ от $T$ У соседних вершин центральный угол $72^\circ$ и расстояние между ними больше $1$ в равнобедренном треугольнике остальные углы по $54^\circ$ поэтому основание больше боковой стороны. Диагонали ещё длиннее. Следовательно, у каждой из пяти баз $T$ строго ближе любой другой из этой пятёрки. Это строгое неравенство сохранится при достаточно малых сдвигах вершин.

Правильный пятиугольник — заготовка; равные расстояния будут устранены на следующем шаге.

Устраните равные расстояния и добавьте остальные базы

Изначально у правильного пятиугольника много равных расстояний. Слегка сдвинем его вершины так, чтобы все расстояния стали различны, сохраняя строгую близость к $T$ Такой выбор возможен: при выборе очередной точки каждое запрещённое равенство расстояний исключает лишь окружность или прямую, а конечное число таких линий не заполняет маленький круг допустимых положений. Остальные $N-6$ баз разместим тесной группой очень далеко от $T$ и пяти вершин, также избегая совпадений расстояний. В этой группе не меньше пяти баз, поэтому для каждой ближайшая база будет внутри группы. В $T$ по-прежнему направятся ровно пять кораблей. Верхняя оценка достигнута.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$5$ кораблей.

Главная идея

В задачах на максимум нужны и запрет большего числа, и пример. Строгие геометрические неравенства позволяют слегка изменить симметричный пример, устранив нежелательные совпадения.

Как заметить эту идею в другой задаче

Каждая точка выбирает ближайшего соседа, а нужно ограничить число стрелок в одну точку. Сравните стороны треугольника двух отправителей и общего получателя: близость превращается в ограничение угла.

Возможная ошибка

Ограничиться правильным пятиугольником как окончательным примером: его равные расстояния нарушают условие. Или нарисовать пять лучей, не проверив, что именно $T$ ближе каждой соседней базы.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 2 · задача 2 ↗

Курчатов · 2025/26 · математика · 8 класс · заключительный этап.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Тема, знания и приёмы

Треугольники и углы · Нужна школьная база

Сумма углов
равенство и подобие треугольников

Приёмы решения: Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →