Курчатов 2025/26 · Математика · 8 кл., №1

Условие

Действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют условиям

a-3b=16c,\qquad \frac4a+\frac2b=\frac1{2c}.

Найдите наибольшее возможное значение

\frac{5bc-6ab+ac}{a^2-3bc+b^2}.

Все дроби в условии и искомом выражении должны быть определены.

О задаче · 8 класс · баллы не подтверждены

Олимпиада: Курчатов
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: задача 1

Официальные баллыНе подтверждены

Сложность Popov Academy—/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Условия и выражение сохраняют смысл при умножении $a,b,c$ на один ненулевой множитель. Попробуйте работать с отношениями $\frac ac$ и $\frac bc$

Подсказка 2

Обозначьте $u=\frac ac$ $v=\frac bc$ Получатся два уравнения для двух неизвестных и только две возможные пары значений.

Разобрать решение по шагам

Уберите лишний масштаб

Из дробей в условии следует $a\ne0$ $b\ne0$ $c\ne0$ В каждом слагаемом числителя и знаменателя искомой дроби стоят произведения двух чисел. Если выразить $a$ и $b$ через $c$ общий множитель $c^2$ сократится. Тогда вместо трёх чисел останутся два отношения.

Введём $u=\frac ac$ $v=\frac bc$ то есть $a=uc$ $b=vc$ Делим первое условие на ненулевое $c$

\frac ac-3\frac bc=16,\qquad u-3v=16.

Во втором условии умножаем обе части на $c$

\frac{4c}{a}+\frac{2c}{b}=\frac12,\qquad\frac4u+\frac2v=\frac12.

Искомое выражение принимает вид

\frac{5(vc)c-6(uc)(vc)+(uc)c}{(uc)^2-3(vc)c+(vc)^2}=\frac{c^2(5v-6uv+u)}{c^2(u^2-3v+v^2)}=\frac{u+5v-6uv}{u^2-3v+v^2}.

В новых обозначениях $u$ и $v$ тоже не равны нулю.

Найдите возможные отношения

Из первого уравнения $u=16+3v$ Подставим это во второе, чтобы осталось только $v$

\frac4{16+3v}+\frac2v=\frac12.

Числа $v$ и $16+3v=u$ ненулевые. Поэтому можно умножить обе части на $2v(16+3v)$ не потеряв допустимых решений:

\begin{aligned} 8v+4(16+3v)&=v(16+3v),\\[0.45em] 8v+64+12v&=16v+3v^2,\\[0.45em] 20v+64&=16v+3v^2,\\[0.45em] 3v^2-4v-64&=0. \end{aligned}

Чтобы разложить левую часть на множители, разделим среднее слагаемое: $-4v=12v-16v$ Тогда

\begin{aligned} 3v^2+12v-16v-64&=0,\\[0.45em] 3v(v+4)-16(v+4)&=0,\\[0.45em] (3v-16)(v+4)&=0. \end{aligned}

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. Получаем две пары:

v=\frac{16}{3},\quad u=16+16=32;\qquad v=-4,\quad u=16-12=4.

Обе пары дают ненулевые $u$ и $v$ поэтому допустимы для исходных условий.

Сравните два значения выражения

Для каждой найденной пары посчитаем отдельно числитель и знаменатель.

При $u=32$ $v=\frac{16}{3}$ числитель равен

32+5\cdot\frac{16}{3}-6\cdot32\cdot\frac{16}{3}=32+\frac{80}{3}-1024=\frac{96+80-3072}{3}=-\frac{2896}{3}.

Знаменатель равен

32^2-3\cdot\frac{16}{3}+\left(\frac{16}{3}\right)^2=1024-16+\frac{256}{9}=\frac{9216-144+256}{9}=\frac{9328}{9}.

Он не равен нулю. Значение дроби:

\frac{-\frac{2896}{3}}{\frac{9328}{9}}=-\frac{2896}{3}\cdot\frac9{9328}=-\frac{8688}{9328}=-\frac{543}{583}.

При $u=4$ $v=-4$ получаем

\frac{4+5\cdot(-4)-6\cdot4\cdot(-4)}{4^2-3\cdot(-4)+(-4)^2}=\frac{4-20+96}{16+12+16}=\frac{80}{44}=\frac{20}{11}.

Здесь знаменатель тоже ненулевой. Второе значение положительно, первое отрицательно. Поэтому большее значение — $\frac{20}{11}$ других допустимых пар отношений нет.

Проверьте достижимость

Например, при $c=1$ $a=4$ $b=-4$ выполнены

a-3b=16,\qquad\frac4a+\frac2b=1-\frac12=\frac12.

Все дроби определены, а искомое выражение действительно равно $\frac{20}{11}$ Следовательно, это максимум, а не только недостижимая верхняя оценка.

Ответ

$\dfrac{20}{11}$

Главная идея

Если одновременное изменение масштаба ничего не меняет, переход к отношениям уменьшает число неизвестных.

Как заметить эту идею в другой задаче

Условия содержат отношения, а искомая дробь однородна: общий множитель у всех переменных сокращается. Выберите одну заведомо ненулевую переменную и перейдите к отношениям.

Возможная ошибка

Перебирать сами $a,b,c$ или делить на $c$ не проверив, что $c\ne0$ Ещё одна ошибка — найти одно значение выражения и не исключить другие допустимые отношения.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 1 ↗

Курчатов · 2025/26 · математика · 8 класс · заключительный этап.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Тема, знания и приёмы

Преобразования выражений · Нужна школьная база

Формулы сокращённого умножения
действия с дробями

Приёмы решения: Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →