Курчатов

Действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют условиям

Найдите наибольшее возможное значение

Все дроби в условии и искомом выражении должны быть определены.

На плоскости расположены $N$ пиратских баз, где $N>10$; одна из них — Тортуга. Расстояния между любыми двумя различными парами баз не совпадают. С каждой базы одновременно выходит корабль к ближайшей другой базе. Какое наибольшее число кораблей может направиться в Тортугу?

В клубе дискуссий по одному историческому вопросу $31$ участник придерживается мнения $a$, $13$ участников — мнения $b$ и $6$ — мнения $c$. Если два участника с разными мнениями начинают диалог, каждый из них меняет свое мнение на третье (например, если говорят участники с мнениями $a$ и $c$, то оба меняют мнение на $b$). В какой-то момент времени в клубе ровно $4$ участника придерживаются мнения $c$. Какое наибольшее число участников с мнением $a$ может оказаться в клубе после этого?

Матроскин, Шарик и дядя Фёдор одновременно начинают триатлон: сначала велосипед, затем плавание, затем бег. Велосипедный и плавательный этапы имеют одинаковую длину, беговой вдвое длиннее каждого из них. Скорость дяди Фёдора на велосипеде равна скорости Шарика в воде. Шарик бежит вдвое медленнее дяди Фёдора, Матроскин едет на велосипеде вдвое быстрее Шарика и бежит втрое быстрее дяди Фёдора. После плавания Шарик и дядя Фёдор одновременно выходят на берег, а Матроскин и дядя Фёдор одновременно финишируют. Скорости на каждом этапе постоянны. Какая доля всей дистанции оставалась Шарику в момент, когда Матроскин его обогнал?

На стороне $AB$ равностороннего треугольника $ABC$ как на диаметре построена окружность. Точка $F$ лежит на этой окружности и строго внутри треугольника. Из $C$ опущен перпендикуляр $CH$ к прямой $AF$; его основание $H$ находится на продолжении $AF$ за $F$. Известно, что $FH=2\sqrt3$ и $CH=1$. Найдите сторону треугольника.