Эйлер 2025/26 · Математика · 8 кл., №5 — решение

Условие

Петя и Вася по очереди выставляют на клетчатую доску размером $2025\times2025$ клеток королей, начинает Петя. Вначале доска пуста. Петя каждым своим ходом ставит на любую свободную клетку доски синего короля. Вася каждым своим ходом ставит на любую свободную клетку доски красного короля. Петя хочет, чтобы наступил момент, когда какой-то синий король бьет не менее шести других синих королей. Может ли Вася ему помешать? Напомним, что король бьет все клетки, соседние со своей клеткой по вертикали, горизонтали или диагонали.

О задаче · 8 класс

Олимпиада: Олимпиада имени Леонарда Эйлера, XVIII олимпиада
Этап: Дистанционный этап, II тур
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Дата: дата тура не указана в файле заданий

Сделай несколько своих ходов за Петю на малой доске. Следи не только за числом соседей, но и за тем, как ответ Васи ограничивает будущие ходы.

Здесь нужен обоснованный словесный ответ. Запиши свой вывод и доводы до открытия помощи.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеСыграй против стратегии

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Своя гипотеза

Сыграй против стратегии

Играй за Петю на малой доске. Вася отвечает по стратегии пар; попробуй создать шесть синих соседей.

Сделай несколько своих ходов за Петю на малой доске. Следи не только за числом соседей, но и за тем, как ответ Васи ограничивает будущие ходы. Проверь свой вариант на бумаге; полный разбор остаётся ниже.

Подсказка 1

Попробуй заранее разбить почти всю доску на пары клеток. Как Вася может не допустить двух синих в одной паре?

Подсказка 2

Спарь соседние строки. В любом квадрате 3×3 найдётся целая пара таких строк, то есть три непересекающиеся пары клеток.

Разобрать решение по шагам

Заранее назначаем пары

Разобьём первые 2024 строки на пары $(1,2),(3,4),\ldots,(2023,2024)$ . В каждом столбце две клетки таких строк образуют вертикальную пару. Последняя строка остаётся непарной. Цель Васи — сохранить простое свойство: в каждой паре не больше одного синего.

Правило ответа Васи

Если Петя поставил синего в парную клетку и другая клетка пары свободна, Вася ставит туда красного. Если другая клетка пары уже красная или ход сделан в непарную строку, Вася занимает любую свободную клетку. На последнем ходе, если свободных клеток нет, отвечать не требуется. Вторая клетка не может уже быть синей: после появления первого синего Вася занял бы нынешнюю клетку. Поэтому свойство пар сохраняется сразу после каждого хода Пети.

Считаем синих возле внутреннего короля

Любые три соседние строки содержат одну целую пару строк нашего разбиения. В квадрате $3\times3$ вокруг внутреннего короля это даёт три непересекающиеся вертикальные пары. В каждой не больше одного синего. Из девяти клеток хотя бы три не синие, поэтому синих не больше шести, включая центрального короля. У него не больше пяти синих соседей.

Край и любое продолжение игры

Король на краю и без стратегии бьёт не больше пяти клеток. Значит, ни внутренний, ни крайний синий король не получит шесть синих соседей. Довод не зависит от выбора ходов Пети и произвольных ответов Васи в остальных случаях.

Проверка

В любой тройке соседних строк есть полная пара. Это даёт три независимых запрета внутри 3×3 ещё до ответа Васи на текущий ход; у центрального синего не больше пяти синих соседей.

Ответ

Да, Вася может помешать; подходит стратегия ответа в парную клетку.

Ответ

Да, Вася может помешать; подходит стратегия ответа в парную клетку.

Главная идея

Ответ в парную клетку запрещает слишком много синих в любом локальном квадрате.

В игре полезно заранее спарить позиции: ответ в другую клетку пары сохраняет ограничение при любых ходах противника.

Где легко ошибиться

Проверить защиту лишь для заранее выбранной атаки Пети. Стратегия должна отвечать на любой свободный ход, включая непарную последнюю строку.

Источник и авторство

Олимпиада имени Леонарда Эйлера · XVIII олимпиада, сезон 2025/26 · дистанционный этап, ii тур · дата тура не указана в файле заданий · математика · 8 класс. Официальная задача 5, 7 баллов.

Условия задач (PDF организатора) ↗ · Решения организатора ↗ · Архив олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, объяснение и модели — Popov Academy. Авторский разбор Popov Academy.

Продолжить тему: Игры и стратегии →

Тема, знания и приёмы

Игры и стратегии · Продвинутая подготовка

Ходы короля
Разбиение на пары
Доказательство стратегии для всех ответов

Приёмы решения: Инвариант или монотонная величина · Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →