Эйлер 2025/26 · Математика · 8 кл., №3 — решение

Условие

Оля и Коля с постоянными скоростями ходят по треугольнику $ABC$ Оля — против часовой стрелки, Коля — по часовой стрелке. Они одновременно вышли из вершины $B$ Оля — по стороне BA, Коля — по стороне $BC$ Первый раз они встретились на середине стороны $AC$ а второй раз — на середине стороны $BC$ Могли ли они в третий раз встретиться на середине стороны $AB$

О задаче · 8 класс

Олимпиада: Олимпиада имени Леонарда Эйлера, XVIII олимпиада
Этап: Дистанционный этап, II тур
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Дата: дата тура не указана в файле заданий

Отметь на рисунке середины трёх сторон и три предполагаемые встречи. Попробуй понять, сколько пути Оля проходит между соседними метками.

Здесь нужен обоснованный словесный ответ. Запиши свой вывод и доводы до открытия помощи.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеОтметь три встречи

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Своя гипотеза

Отметь три встречи

Меняй стороны невырожденного треугольника. Первая встреча закреплена на середине AC; проверь места второй и третьей.

Отметь на рисунке середины трёх сторон и три предполагаемые встречи. Попробуй понять, сколько пути Оля проходит между соседними метками. Проверь свой вариант на бумаге; полный разбор остаётся ниже.

Подсказка 1

Разверни периметр в длинную линию. Через какие равные промежутки времени происходят встречи?

Подсказка 2

Сравни два первых пути Оли между встречами. При предположении о третьей встрече сравни ещё два пути и проверь неравенство треугольника.

Разобрать решение по шагам

У встреч есть общий ритм

Пешеходы движутся навстречу по замкнутому периметру. Чтобы встретиться снова, вместе они должны пройти ещё один периметр. Сумма скоростей постоянна, поэтому время между соседними встречами одно и то же. Старт считаем нулевой встречей. Оля за каждый такой промежуток проходит одинаковый путь.

Сравниваем первый и второй пути

Обозначим $AB=c$ $BC=a$ $AC=b$ Первый путь Оли — $c+b/2$ до середины $AC$ Следующая встреча находится дальше по её направлению: от середины $AC$ до середины $BC$ путь равен $b/2+a/2$ Она не успевает сделать лишний круг между этими встречами: за один промежуток её путь меньше полного периметра. Значит,

c+\frac b2=\frac b2+\frac a2,\qquad a=2c.

Что потребовала бы третья встреча

Если третья встреча была бы на середине $AB$ Оля прошла бы от середины $BC$ через $B$ ещё $a/2+c/2$ Этот путь тоже меньше периметра, поэтому без лишних кругов. Сравним со вторым путём:

\frac a2+\frac c2=\frac b2+\frac a2,\qquad b=c.

Получился не треугольник

Вместе два равенства дают $a=2c=b+c$ Но в настоящем треугольнике каждая сторона строго меньше суммы двух других. Равенство означало бы, что вершины лежат на одной прямой. Поэтому предполагаемая третья встреча невозможна.

Проверка

Например, AB=2,BC=4,AC=4 совместны с первыми двумя встречами. Требование третьей даёт AC=AB, после чего BC=AB+AC: это уже вырождение.

Ответ

Нет, третья встреча не могла произойти на середине AB.

Ответ

Нет, третья встреча не могла произойти на середине AB.

Главная идея

Равные промежутки между встречами превращают положение встреч в равные пути одного пешехода.

На замкнутом маршруте сначала найди ритм встреч, затем считай путь по дугам между отмеченными точками.

Где легко ошибиться

Сравнивать прямые отрезки между встречами: пешеходы идут по сторонам, а не напрямик. Ещё одна ошибка — незаметно добавить лишний круг.

Источник и авторство

Олимпиада имени Леонарда Эйлера · XVIII олимпиада, сезон 2025/26 · дистанционный этап, ii тур · дата тура не указана в файле заданий · математика · 8 класс. Официальная задача 3, 7 баллов.

Условия задач (PDF организатора) ↗ · Решения организатора ↗ · Архив олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, объяснение и модели — Popov Academy. Авторский разбор Popov Academy.

Продолжить тему: Задачи на движение →

Тема, знания и приёмы

Задачи на движение · Продвинутая подготовка

Путь при постоянной скорости
Суммарная скорость встречного движения
Строгое неравенство треугольника

Приёмы решения: Относительное движение · Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →