Эйлер 2025/26 · Математика · 8 кл., №2 — решение

Условие

Найдутся ли такие два идущих подряд натуральных числа, что если их «рассыпать» на цифры, то всех цифр от 0 до 9 окажется поровну?

О задаче · 8 класс

Олимпиада: Олимпиада имени Леонарда Эйлера, XVIII олимпиада
Этап: Дистанционный этап, II тур
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Дата: дата тура не указана в файле заданий

Напиши рядом несколько соседних чисел, в том числе число с конечными девятками. Составь общий список цифр и попробуй добиться равных количеств.

Здесь нужен обоснованный словесный ответ. Запиши свой вывод и доводы до открытия помощи.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПроверь соседние числа

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Своя гипотеза

Проверь соседние числа

Придумай число и сравни количества каждой цифры в нём и в следующем числе.

Напиши рядом несколько соседних чисел, в том числе число с конечными девятками. Составь общий список цифр и попробуй добиться равных количеств. Проверь свой вариант на бумаге; полный разбор остаётся ниже.

Подсказка 1

Посмотри на общий начальный кусок двух записей. Сколько раз каждая его цифра входит в обе записи вместе?

Подсказка 2

Отдели конечные девятки. Среди цифр от 1 до 8 найди одну, которая изменилась один раз, и одну, которой перенос не коснулся.

Разобрать решение по шагам

Что происходит с девятками

Если число состоит только из девяток, следующее имеет вид $100\ldots0$ Цифры от $2$ до $8$ в этих двух записях не встречаются, а $9$ встречается. Равных количеств быть не может. Теперь рассматриваем число, в котором есть цифра, отличная от $9$

Отделяем изменённый хвост

Пусть $d$ — последняя не равная $9$ цифра числа, а после неё идут несколько девяток, возможно ни одной. При прибавлении единицы $d$ превращается в $d+1$ девятки — в нули. Всё перед $d$ остаётся тем же. Этот общий префикс входит в две записи одинаково, поэтому даёт каждой цифре чётное число вхождений.

Находим нечётное количество

Хотя бы одна из соседних цифр $d,d+1$ лежит среди $1,2,\ldots,8$ В изменённом месте она появляется ровно один раз; в хвосте из нулей и девяток её нет. Вместе с удвоенным префиксом получаем нечётное количество этой цифры.

Сравниваем с нетронутой цифрой

Среди восьми цифр $1,\ldots,8$ найдётся цифра, отличная и от $d$ и от $d+1$ Для неё есть только два одинаковых префикса: общее количество чётно. Все десять количеств не могут совпасть, потому что одно из них нечётно, а другое чётно.

Проверка

У 128 и 129 изменяется только последнее место; у 123899 и 123900 перенос затрагивает хвост. В доказательстве оба случая охвачены общей схемой, а все девятки — отдельно.

Ответ

Нет, таких двух последовательных натуральных чисел не существует.

Ответ

Нет, таких двух последовательных натуральных чисел не существует.

Главная идея

При прибавлении единицы неизменный префикс удваивает количества цифр, а изменённое место создаёт нечётность.

Если две записи почти совпадают, удвоенная общая часть удобна для рассуждения о чётности.

Где легко ошибиться

Забыть перенос через несколько девяток или считать, что при n=999 слева есть ещё одна цифра. Случай из одних девяток разбирается отдельно.

Источник и авторство

Олимпиада имени Леонарда Эйлера · XVIII олимпиада, сезон 2025/26 · дистанционный этап, ii тур · дата тура не указана в файле заданий · математика · 8 класс. Официальная задача 2, 7 баллов.

Условия задач (PDF организатора) ↗ · Решения организатора ↗ · Архив олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, объяснение и модели — Popov Academy. Авторский разбор Popov Academy.

Продолжить тему: Десятичная запись →

Тема, знания и приёмы

Десятичная запись · Начальный вход

Чётность количества
Прибавление единицы в десятичной записи

Приёмы решения: Разбор случаев · Разрядная запись числа

Задать вопрос по задаче →