Задача 4. Точка с малой суммой

Выбираем запас до 60°

Если бы все три угла были не меньше $60^\circ$, при сумме $180^\circ$ они были бы равны. Значит, у неравностороннего треугольника есть угол меньше $60^\circ$. Циклическим переименованием вершин назовём его $C$: сумма $\angle ABD+\angle BCD+\angle CAD$ при таком переименовании сохраняется.

Задаём два маленьких угла

Выберем положительный угол $\delta$ так, чтобы $\delta<A$, $\delta<B$ и $2\delta<60^\circ-C$. Например, подходит четверть наименьшего из положительных чисел $A,B,60^\circ-C$. Проведём внутри треугольника луч из $A$ под углом $\delta$ к $AC$ и луч из $B$ под углом $\delta$ к $BA$.

Почему точка внутри

Первый луч пересекает внутреннюю точку стороны $BC$, второй — внутреннюю точку $AC$. Отрезки от $A$ и $B$ к этим точкам пересекаются внутри треугольника. Назовём пересечение $D$. Получили $\angle CAD=\delta$ и $\angle ABD=\delta$; луч $CD$ проходит внутри угла $C$, поэтому $\angle BCD<C$.

Складываем оценки

Теперь

Все неравенства строгие: точка находится внутри, а два отклонения выбраны с запасом.