Эйлер 2025/26 · Математика · 8 кл., №1 — решение

Условие

Имеются четыре гири, весящие 1, 2, 3 и 4 кг, и ржавые чашечные весы, которые остаются в равновесии, если разность весов на чашах не превосходит 2 кг (а иначе перевешивает более тяжелая чаша). Как с их помощью определить, какая гиря сколько весит?

О задаче · 8 класс

Олимпиада: Олимпиада имени Леонарда Эйлера, XVIII олимпиада
Этап: Дистанционный этап, II тур
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Дата: дата тура не указана в файле заданий

Положи на чаши по одной неизвестной гире и запиши результат словами. Какие массы ещё согласуются с наблюдением?

Здесь нужен обоснованный словесный ответ. Запиши свой вывод и доводы до открытия помощи.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеУзнай массы гирь

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Своя гипотеза

Узнай массы гирь

Выбирай собственные взвешивания, записывай наблюдения и укажи массы четырёх гирь. Весы показывают только равновесие или перевес.

Положи на чаши по одной неизвестной гире и запиши результат словами. Какие массы ещё согласуются с наблюдением? Проверь свой вариант на бумаге; полный разбор остаётся ниже.

Подсказка 1

Какие две гири вообще способны вывести весы из равновесия, если класть по одной на чашу?

Подсказка 2

После нахождения самой лёгкой и самой тяжёлой сложи их на одной чаше. Как отличаются результаты сравнения этой суммы с двумя оставшимися гирями?

Разобрать решение по шагам

Ищем информативный перевес

Если разность масс не больше $2$ кг, весы ничего не различают. Среди масс $1,2,3,4$ только пара $1$ и $4$ отличается больше чем на $2$ разность равна $3$ кг. Поэтому перевес при сравнении двух отдельных гирь сразу определит обе их массы.

Перебираем все пары

Обозначим гири буквами $A,B,C,D$ и сравним каждую с каждой: $AB,AC,AD,BC,BD,CD$ Получится шесть взвешиваний. Ровно в одном будет перевес: тяжёлая гиря в нём — $4$ кг, лёгкая — $1$ кг. Остальные пары дадут равновесие; это тоже соответствует правилу весов.

Различаем оставшиеся массы

Две найденные гири вместе весят $1+4=5$ кг. Положим их на одну чашу, одну из неизвестных — на другую. Если она весит $2$ кг, разность $5-2=3$ кг вызовет перевес чаши с двумя гирями. Если $3$ кг, разность $5-3=2$ кг не нарушит равновесия. Так определяем выбранную неизвестную, а другую — по исключению.

Проверка

Любая перестановка масс содержит ровно одну пару с разностью 3:1 и 4. Дополнительное взвешивание различает 2 и 3 даже на границе чувствительности.

Ответ

Все гири определяются: шесть попарных сравнений находят 1 и 4 кг; одно дополнительное взвешивание различает 2 и 3 кг.

Ответ

Главная идея

Неравновесие здесь сообщает больше, чем равновесие: сначала найди единственную пару с разностью больше двух.

Если прибор объединяет разные значения в один ответ, ищи опыт, который разделяет именно оставшиеся варианты.

Где легко ошибиться

Считать, что равновесие означает равные массы. Здесь оно означает лишь разность не больше 2 кг.

Источник и авторство

Олимпиада имени Леонарда Эйлера · XVIII олимпиада, сезон 2025/26 · дистанционный этап, ii тур · дата тура не указана в файле заданий · математика · 8 класс. Официальная задача 1, 7 баллов.

Условия задач (PDF организатора) ↗ · Решения организатора ↗ · Архив олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, объяснение и модели — Popov Academy. Авторский разбор Popov Academy.

Продолжить тему: Поиск и алгоритмы →

Тема, знания и приёмы

Поиск и алгоритмы · Начальный вход

Чувствительность весов: перевес при разности больше 2
Последовательное исключение вариантов

Приёмы решения: Разделение пространства поиска · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →