Задача 9. Две суммы на доске

Сумма = количество × среднее

Начнём с того, как быстро сложить числа одной чётности. Среди выписанных чисел чётные (и отдельно нечётные) идут через одно, с шагом $2$, например $5, 7, 9, 11$. Сложим их парами «крайние к середине»: $5+11=16$ и $7+9=16$. При переходе к следующей паре первое число растёт на $2$, а второе уменьшается на $2$, поэтому сумма каждой пары одна и та же — сумма первого и последнего числа. Пар вдвое меньше, чем чисел, поэтому сумма группы — это половина количества чисел, умноженная на «первое $+$ последнее». Если первое число группы $p$, а последнее $q$, то короче это записать через среднее чисел группы:

сумма = количество × среднее.

Если чисел в группе нечётное количество, то среднее по порядку число остаётся без пары, но оно само равно половине суммы пары, и формула верна: $6+8+10=3\cdot 8$.

Среднее — целое число: первое и последнее числа одной чётности, и их сумма чётна.

Зачем это нужно: в задаче две суммы, и сравнить их проще, когда каждая записана как произведение «количество × среднее». Обозначим первое выписанное число через $a$ (это натуральное число, $a\ge 1$) и разберём два случая: выписано чётное или нечётное количество чисел.

Чётное количество: средние — соседние числа

Пусть выписано $2k$ чисел: $a, a+1, \ldots, a+2k-1$, где $k\ge 1$. Чётные и нечётные числа чередуются, поэтому их поровну — по $k$.

Числа той же чётности, что и $a$: $a, a+2, \ldots, a+2k-2$. Их среднее

Числа другой чётности: $a+1, a+3, \ldots, a+2k-1$. Каждое из них на $1$ больше своего соседа слева, поэтому и среднее у них на $1$ больше: $a+k$.

Обозначим $n=a+k-1$. Тогда две суммы равны

причём $n\ge 1$, ведь $a\ge 1$ и $k\ge 1$. Например, для чисел от $3$ до $10$: нечётные $3+5+7+9=4\cdot 6=24$, чётные $4+6+8+10=4\cdot 7=28$.

Нечётное количество: среднее одно и то же

Пусть выписано $2k+1$ чисел: $a, a+1, \ldots, a+2k$. Чисел больше одного, поэтому $k\ge 1$. Посередине стоит число $m=a+k$.

Числа той же чётности, что и $a$: $a, a+2, \ldots, a+2k$ — их $k+1$, а среднее

Числа другой чётности: $a+1, a+3, \ldots, a+2k-1$ — их $k$, а среднее

Обе группы расположены симметрично относительно середины, поэтому среднее у них одно и то же — число $m$, а количества отличаются на $1$. Суммы равны $(k+1)\cdot m$ и $k\cdot m$. Например, для чисел от $5$ до $11$: нечётные $5+7+9+11=4\cdot 8=32$, чётные $6+8+10=3\cdot 8=24$.

Итог шагов 2 и 3. В любом случае две суммы равны

— одно и то же натуральное число $c$, умноженное на два соседних натуральных числа, причём $n\ge 1$. При чётном количестве чисел $c=k$ и $n=a+k-1$, при нечётном $c=m$ и $n=k$.

Если обе суммы — квадраты, то и n(n+1) — квадрат

Допустим, что обе суммы — квадраты: $c\cdot n=x^2$ и $c\cdot(n+1)=y^2$, где $x$ и $y$ — натуральные числа. Про каждое равенство по отдельности сказать трудно: $c$ может быть каким угодно. Поэтому перемножим их — тогда $c$ войдёт в квадрате:

Отсюда следует, что $n(n+1)$ — тоже квадрат натурального числа. Объясним почему через разложение на простые множители. Мы пользуемся тем, что у каждого натурального числа больше $1$ такое разложение одно (с точностью до порядка множителей), поэтому можно говорить, сколько раз простое число в него входит.

• В квадрате натурального числа каждый простой множитель встречается чётное число раз: $(xy)^2=xy\cdot xy$, и каждый множитель числа $xy$ повторяется дважды. То же верно для $c^2=c\cdot c$.

• Возьмём любое простое число $p$. В левой части оно встречается столько раз, сколько в $c^2$ (чётное число), плюс столько раз, сколько в $n(n+1)$. Всего должно получиться столько же, сколько в $(xy)^2$, — чётное число. Значит, в $n(n+1)$ число $p$ встречается чётное число раз.

• Если в разложении числа каждый простой множитель встречается чётное число раз, это число — квадрат: возьмём каждый множитель вдвое меньшее число раз, получим число, квадрат которого и есть исходное.

Итак, $n(n+1)$ — квадрат натурального числа.

Но n(n+1) лежит между соседними квадратами

Посмотрим, где находится $n(n+1)=n^2+n$. При $n\ge 1$

Значит, $n(n+1)$ лежит строго между квадратами соседних натуральных чисел $n$ и $n+1$. Других квадратов между ними нет: следующий после $n^2$ квадрат натурального числа — это уже $(n+1)^2$. Поэтому $n(n+1)$ не квадрат, и это противоречит шагу 4.

Получилось, что при любом наборе подряд идущих натуральных чисел (больше одного) суммы чётных и нечётных чисел не могут обе быть квадратами. Ответ: не могло.