Задача 1. Три нецелых числа

Что требует условие

Числа $a$, $b$, $c$ должны быть положительными и нецелыми, а три дроби

— целыми. Сразу отметим два следствия.

• Делить на $0$ нельзя, поэтому знаменатели $a-b$, $b-c$, $c-a$ не равны нулю: все три числа разные.

• Целые числа — это не только $1, 2, 3, \ldots$, но и $0, -1, -2, \ldots$ И без отрицательных дробей здесь не обойтись. Числитель каждой дроби — сумма двух положительных чисел, он положителен. Поэтому дробь $\dfrac{a+b}{a-b}$ положительна ровно тогда, когда положителен знаменатель, то есть когда $a > b$. Если бы все три дроби были положительны, было бы $a > b$, $b > c$ и $c > a$, то есть $a > b > c > a$ — а число не может быть больше самого себя. Значит, хотя бы одна дробь отрицательна.

Подбирать сразу нецелые числа неудобно: с дробями трудно считать в уме. Посмотрим, нельзя ли сначала обойтись целыми.

Дроби не меняются, если все числа умножить на одно число

Возьмём $a = 1$ и $b = 2$: $\dfrac{1+2}{1-2} = \dfrac{3}{-1} = -3$. А теперь числа в $10$ раз меньше, $a = 0{,}1$ и $b = 0{,}2$:

— то же самое! Это не совпадение. Умножим оба числа на одно и то же число $t$, не равное нулю. Тогда и сумма, и разность умножатся на $t$ (выносим общий множитель за скобки), и дробь можно сократить на $t$:

Так же ведут себя все три дроби из условия. Разделить все числа на $10$ — это то же, что умножить на $t = \frac{1}{10}$, поэтому и деление дробей не меняет.

План. Найдём три разных положительных целых числа, для которых все три дроби целые, а потом разделим все три числа на одно и то же число так, чтобы они стали нецелыми. Дроби при этом останутся прежними, то есть целыми.

Подбираем целые числа

Когда дробь $\dfrac{a+b}{a-b}$ с целыми $a$ и $b$ — целое число? Проще всего, когда знаменатель равен $1$ или $-1$: целое число, делённое на $1$ или на $-1$, остаётся целым. Значит, удобно брать соседние числа.

Но все три разности $a-b$, $b-c$, $c-a$ не могут быть равны $\pm 1$: если $a$ и $b$ соседние, $b$ и $c$ тоже соседние, а $a \ne c$, то $a$ и $c$ — это $b-1$ и $b+1$, они отличаются на $2$. Так и возьмём три числа подряд: $a = 1$, $b = 2$, $c = 3$. В дроби со знаменателем $c - a = 2$ числитель должен быть чётным — и он чётный: $c + a = 3 + 1 = 4$. Считаем все три дроби:

Все три дроби целые (одна из них положительная, две отрицательные — как и должно быть по шагу 1). Осталась одна беда: сами числа $1$, $2$, $3$ целые.

Делаем числа нецелыми

Разделим все три числа на $10$: $a = 0{,}1$, $b = 0{,}2$, $c = 0{,}3$. Все они больше $0$ и меньше $1$, значит, положительные и нецелые. По шагу 2 дроби остались прежними: $-3$, $-5$ и $2$ (рисунок ниже).

Делить можно не на любое число. При делении на $2$ получится $\frac12$, $1$, $\frac32$ — число $1$ целое. При делении на $3$ получится $\frac13$, $\frac23$, $1$ — снова целое $1$. А при делении на любое натуральное число больше $3$ все три числа окажутся между $0$ и $1$, то есть нецелыми: например, $\frac14$, $\frac12$, $\frac34$ или $\frac15$, $\frac25$, $\frac35$.

Проверяем подстановкой

Проверим ответ прямо по условию, не опираясь на шаг 2:

Все три значения целые, а числа $0{,}1$, $0{,}2$, $0{,}3$ положительные, нецелые и разные. Задача просит найти такие числа, поэтому одного проверенного примера достаточно; доказывать, что других нет, не нужно — их бесконечно много.