Задача 3. Три числа и их квадраты

Сначала посмотрим на равные числа

Прежде чем доказывать, поймём, откуда берётся $\frac12$. Самый простой случай — все три числа равны: $x=y=z=t$. Тогда каждое неравенство превращается в одно и то же:

Справа квадрат, он не меньше нуля, значит $t>0$. Разделим обе части на положительное $t$: $1>2t$, то есть $t<\frac12$. Например, $t=0{,}4$ подходит ($0{,}4>0{,}32$), $t=0{,}49$ тоже подходит ($0{,}49>0{,}4802$), а $t=\frac12$ уже нет: $\frac12=2\cdot\frac14$ — равенство, а нужно «больше».

Что это даёт. Во-первых, все числа положительны и в общем случае: $x>y^2+z^2\ge 0$, и так же для $y$ и $z$. Во-вторых, граница $\frac12$ точная: числа могут быть сколь угодно близки к $\frac12$. Значит, в доказательстве нельзя «терять» по дороге — оценки должны быть аккуратными.

Но равные числа — только частный случай: например, тройка $0{,}3;\ 0{,}3;\ 0{,}45$ тоже удовлетворяет условию. Нужно рассуждение для любых $x$, $y$, $z$.

Складываем неравенства, где x стоит справа

Докажем, что $x<\frac12$. Первое неравенство $x>y^2+z^2$ здесь не поможет: оно говорит, что $x$ большое, а нам нужно, чтобы оно было маленьким. Ограничить $x$ сверху помогут неравенства, где $x$ стоит в правой, меньшей части, — второе и третье. В каждом из них есть $x^2$. Сложим их:

Перенесём $y^2$ и $z^2$ влево и сгруппируем по буквам:

Назовём разность $t-t^2$ запасом числа $t$: на столько число больше своего квадрата. Получилось: удвоенный квадрат $x$ меньше суммы запасов $y$ и $z$.

Зачем это нужно: справа остались два одинаково устроенных выражения, каждое зависит только от одного числа. Если мы узнаем, каким большим может быть запас одного числа, мы ограничим $x^2$ сверху.

Запас любого числа не больше 1/4

Покажем, что для любого числа $t$

Проверим, раскрыв скобки по формуле квадрата разности: $\left(t-\frac12\right)^2=t^2-t+\frac14$. Поэтому $\frac14-\left(t-\frac12\right)^2=\frac14-t^2+t-\frac14=t-t^2$ — тождество верно.

Квадрат не бывает отрицательным, поэтому из $\frac14$ вычитается неотрицательное число:

и равенство бывает только при $t=\frac12$. Это и есть «потолок» на рисунке ниже: парабола $t-t^2$ выше уровня $\frac14$ не поднимается.

Как это заметить: $t-t^2=t(1-t)$ — произведение двух чисел с суммой $1$. Такое произведение самое большое, когда множители равны: $\frac12\cdot\frac12=\frac14$. Выделение полного квадрата — способ это доказать.

Собираем: x меньше 1/2, и так же y и z

По шагу 3 запас $y$ не больше $\frac14$ и запас $z$ не больше $\frac14$. Подставим в неравенство шага 2:

Значит, $2x^2<\frac12$, то есть $x^2<\frac14$.

Отсюда $x<\frac12$: если бы было $x\ge\frac12$, то, умножив это неравенство с положительными частями само на себя, мы получили бы $x^2\ge\frac14$ — противоречие. Знак «меньше» строгий, потому что строгим было уже неравенство шага 2: строгое неравенство из условия «не теряется», даже если оценка $\frac14$ достигается.

Для $y$ рассуждаем так же, только складываем неравенства, где $y$ стоит справа, — первое и третье: $x+z>(y^2+z^2)+(x^2+y^2)$, то есть $2y^2<(x-x^2)+(z-z^2)\le\frac12$, и $y<\frac12$. Для $z$ складываем первое и второе: $2z^2<(x-x^2)+(y-y^2)\le\frac12$, и $z<\frac12$.

Итак, каждое из чисел $x$, $y$, $z$ меньше $\frac12$, что и требовалось. А из шага 1 видно, что улучшить оценку нельзя: тройка $t,\ t,\ t$ подходит при любом $t$ от $0$ до $\frac12$.