Математика · 8 класс · Региональный этап

Найдите три нецелых положительных числа $a$, $b$, $c$ таких, что все числа $\dfrac{a+b}{a-b}$, $\dfrac{b+c}{b-c}$, $\dfrac{c+a}{c-a}$ — целые.

В пещере собрались $100$ гномов — по $10$ гномов из $10$ разных кланов. Каждый из них — рыцарь, всегда говорящий правду, или лжец, который всегда лжет. Каждый из собравшихся назвал клан, из которого, по его мнению, на собрание пришли одни лжецы. Оказалось, что каждый из $10$ кланов назвало ровно $10$ гномов. Докажите, что лжецов в пещере не меньше, чем рыцарей.

Числа $x$, $y$, $z$ таковы, что $x>y^2+z^2$, $y>z^2+x^2$, $z>x^2+y^2$. Докажите, что каждое из чисел $x$, $y$, $z$ меньше $\dfrac12$.

В каждой клетке доски $2\times200$ лежит по рублёвой монете. Даша и Соня играют, делая ходы по очереди, начинает Даша. За один ход можно выбрать любую монету и передвинуть её: Даша двигает монету на соседнюю по диагонали клетку, Соня — на соседнюю по стороне. Если две монеты оказываются в одной клетке, одна из них тут же снимается с доски и достаётся Соне. Соня может остановить игру в любой момент и забрать все полученные деньги. Какой наибольший выигрыш она может получить, как бы ни играла Даша?

На биссектрисе угла $ABC$ отмечена точка $D$. На отрезке $AB$ отмечена точка $E$, а на отрезке $BC$ — точка $F$, причём $AB = DE$ и $BC = DF$. Докажите, что из отрезков $AD$, $CD$ и $EF$ можно сложить треугольник.

В начале года каждому из $150$ бойцов лиги смешанных единоборств был присвоен номер от $1$ до $150$. В течение года было проведено $149$ поединков: первого со вторым, второго с третьим, …, $149$-го со $150$-м. В конце года был составлен список бойцов, победивших во всех поединках, в которых они участвовали в прошедшем году. Могли ли в этом списке оказаться и все бойцы с номерами кратными $17$, и все бойцы с номерами кратными $20$?

В трапеции $ABCD$ диагональ $BD$ является биссектрисой угла $ADC$. На основаниях $BC$ и $AD$ выбрали точки $X$ и $Y$ соответственно таким образом, что $AX = BD$ и $AY = CD$. Оказалось, что $\angle BCD = 130^\circ$. Найдите величину угла $AXY$.

На экране калькулятора горит число $41$. За одну операцию можно увеличить или уменьшить число на экране на $33$ или $34$. При этом запрещается получать числа, меньшие $1$, и числа, большие $99$. Через $2025$ операций на экране оказалось число $50$. Докажите, что в некоторый момент на экране было число $67$.

На доску записали несколько (больше одного) последовательных натуральных чисел. Могло ли так случиться, что и сумма всех четных выписанных чисел — квадрат натурального числа, и сумма всех нечетных выписанных чисел — квадрат натурального числа?

На столе стоят $12$ сосудов, выстроенных в $4$ ряда по $3$ сосуда в каждом. В каждый сосуд налито некоторое (возможно, нулевое) количество воды. Известно, что суммарное количество воды в каждом ряду равно $1$ л. При каких значениях $\alpha$ можно утверждать, что на столе найдутся два сосуда, количества воды в которых отличаются не более чем на $\alpha$ л?