Задача 8. Калькулятор: ±33 или ±34

Пробуем и замечаем три ряда

Начнём с опытов. Из $41$ за одну операцию получаются $41+33=74$, $41+34=75$, $41-33=8$ и $41-34=7$. Из $7$ уже нельзя вычитать: $7-33$ меньше $1$. Из $74$ нельзя прибавлять: $74+33=107$ больше $99$.

Чтобы видеть всё сразу, запишем числа от $1$ до $99$ в три ряда по $33$ числа:

• верхний ряд — от $1$ до $33$;
• средний ряд — от $34$ до $66$;
• нижний ряд — от $67$ до $99$.

Число $x+33$ стоит в следующем ряду на том же месте, что и $x$, а $x+34$ — в следующем ряду на одно место правее. Только у числа в самом конце ряда «одно место правее» уже не помещается в следующий ряд. Поэтому почти каждая операция переводит число в соседний ряд — вверх или вниз. Это наводит на мысль сравнить средний ряд со всеми остальными числами, а исключения найти аккуратно.

Средние и крайние: каждая операция их меняет

Назовём числа от $34$ до $66$ средними, а числа от $1$ до $33$ и от $67$ до $99$ — крайними. Проверим, куда ведут операции, — по очереди для каждого вида чисел.

Из среднего числа $m$ ($34 \le m \le 66$). Прибавляем: $m+33 \ge 34+33 = 67$ и $m+34 \ge 68$ — это крайние числа (или запрещённые, если больше $99$). Вычитаем: $m-33 \le 66-33 = 33$ и $m-34 \le 32$ — тоже крайние (или запрещённые, если меньше $1$). Значит, из среднего числа всегда получается крайнее.

Из крайнего числа $x$ от $1$ до $33$. Вычитать нельзя: $x-33 \le 0$. Прибавляем $33$: получаем число от $34$ до $66$ — среднее. Прибавляем $34$: получаем число от $35$ до $67$ — среднее, кроме одного случая: $33+34=67$.

Из крайнего числа $y$ от $67$ до $99$. Прибавлять нельзя: $y+33 \ge 100$. Вычитаем $33$: получаем число от $34$ до $66$ — среднее. Вычитаем $34$: получаем число от $33$ до $65$ — среднее, кроме одного случая: $67-34=33$.

Вывод: каждая операция переводит среднее число в крайнее, а крайнее — в среднее. Исключений ровно два: $33 \to 67$ и $67 \to 33$. Назовём их особыми операциями. В каждой из них на экране — до или после операции — стоит $67$.

Чередование и чётность

Предположим, что число $67$ на экране ни разу не появлялось. Тогда не было и особых операций: в каждой из них на экране стоит $67$. Значит, по шагу 2 каждая из $2025$ операций меняла вид числа: среднее на крайнее или крайнее на среднее.

Вначале на экране $41$ — среднее число. После $1$-й операции число крайнее, после $2$-й — снова среднее, после $3$-й — крайнее и так далее: после чётного числа операций число среднее, после нечётного — крайнее.

Число $2025$ нечётное, поэтому после $2025$ операций на экране было бы крайнее число. Но там $50$, а $34 \le 50 \le 66$ — это среднее число. Противоречие.

Значит, предположение неверно: в некоторый момент на экране было число $67$. Что и требовалось доказать.

Такое действительно бывает

Для доказательства этот шаг не нужен, но он показывает, что условие не пустое: прийти в $50$ за $2025$ операций можно — и как раз через $67$.

Спускаемся по среднему ряду: 41 → 7 → 40 → 6 → 39 → … → 35 → 1 → 34 (каждый раз $-34$, потом $+33$; это $14$ операций). Дальше идём через $67$: 34 → 67 → 33 → 66 ($3$ операции, среди них особая 67 → 33). Потом снова по две операции на шаг: 66 → 32 → 65 → 31 → … → 51 → 17 → 50 ($32$ операции). Всего $14+3+32=49$ операций, и все числа на экране от $1$ до $99$.

Осталось $2025-49=1976$ операций — это $988$ пар «туда и обратно»: 50 → 83 → 50. Каждая пара не меняет число на экране. Итого $49+2\cdot 988=2025$ операций, в конце на экране $50$, и $67$ было — как и должно быть по шагу 3.

Обрати внимание: если $67$ запретить, в $50$ по-прежнему можно прийти, например за $18$ операций ($+34$, $-33$ девять раз подряд), но только за чётное число операций.