Эйлер 2024/25 · Математика · 8 кл., №4 — решение

Условие

Целые числа $x, y, z, t$ таковы, что $x+y+z+t=0$ Сколько различных натуральных значений, не превосходящих $10000$ может принимать число

(xy-zt)(xz-yt)(yz-xt)?

О задаче · 8 класс

Олимпиада: Олимпиада имени Леонарда Эйлера, XVII олимпиада
Этап: Дистанционный этап, II тур
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Дата: дата тура не указана в файле заданий

Возьми несколько четвёрок целых чисел с нулевой суммой — например, $1, 1, 0, -2$ или $3, 3, -2, -4$ — и посчитай три скобки и их произведение. Какие значения получаются? Бывают ли среди них нечётные? В модели «Собери свои значения» ты выбираешь $x$ $y$ $z$ а $t$ подставляется само; модель считает скобки и собирает все найденные натуральные значения не больше $10000$

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеСобери свои значения

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Своя гипотеза

Собери свои значения

Выбери целые x, y, z — четвёртое число t подставится само, чтобы сумма была равна нулю. Модель посчитает три скобки и их произведение и соберёт все найденные натуральные значения не больше 10000. Какие числа туда попадают и сколько их может быть?

Без JavaScript модель не работает. Возьми несколько четвёрок целых чисел с суммой 0, например 1, 1, 0, −2 или 3, 3, −2, −4, посчитай три скобки и их произведение и выпиши получившиеся значения.

Подсказка 1

Условие позволяет выразить одну букву через остальные: $t=-(x+y+z)$ Подставь это в первую скобку $xy-zt$ раскрой скобки и сгруппируй четыре слагаемых парами — получится произведение двух сумм.

Подсказка 2

Выйдет $xy-zt=(x+z)(y+z)$ и две другие скобки — тоже произведения двух из трёх сумм $x+y$ $y+z$ $z+x$ Значит, всё число — квадрат целого числа $(x+y)(y+z)(z+x)$ Может ли это число быть нечётным? Сложи три суммы.

Разобрать решение по шагам

Убираем лишнюю букву и раскладываем скобки

Четыре числа связаны одним условием, поэтому одно из них лишнее: $t=-(x+y+z)$ Подставим это в первую скобку. Вычитать $z\cdot t$ — то же, что прибавлять $z(x+y+z)$

\begin{aligned}&xy-zt=xy+z(x+y+z)={}\\[0.45em]&=xy+xz+yz+z^2.\end{aligned}

Четыре слагаемых сгруппируем парами: в $xy+xz$ есть общий множитель $x$ в $yz+z^2$ — общий множитель $z$ и в обеих скобках остаётся одна и та же сумма $y+z$

\begin{aligned}&xy+xz+yz+z^2={}\\[0.45em]&=x(y+z)+z(y+z)={}\\[0.45em]&=(x+z)(y+z).\end{aligned}

Точно так же раскладываются две другие скобки (проверь сам, раскрыв скобки):

\begin{aligned}&xz-yt=xz+y(x+y+z)={}\\[0.45em]&=x(z+y)+y(y+z)={}\\[0.45em]&=(x+y)(y+z),\end{aligned}

\begin{aligned}&yz-xt=yz+x(x+y+z)={}\\[0.45em]&=x(x+y)+z(x+y)={}\\[0.45em]&=(x+y)(x+z).\end{aligned}

Проверим на числах: при $x=2$ $y=3$ $z=4$ $t=-9$ получаем $xy-zt=6+36=42$ и $(x+z)(y+z)=6\cdot7=42$

Зачем это нужно: про произведение скобок, где у каждой своя смесь букв, сказать трудно. А когда каждая скобка — произведение простых сумм, видно, из каких «кирпичиков» складывается всё число.

Всё число — квадрат

Перемножим три скобки:

\begin{aligned}&(x+z)(y+z)\\[0.45em] \cdot\,&(x+y)(y+z)\\[0.45em] \cdot\,&(x+y)(x+z).\end{aligned}

Каждая из трёх сумм $x+y$ $y+z$ $z+x$ встречается здесь ровно два раза (рисунок ниже). Поэтому число $(xy-zt)(xz-yt)(yz-xt)$ из условия равно

\begin{aligned}&(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2={}\\[0.45em]&=P^2,\end{aligned}

где $P=(x+y)(y+z)(z+x)$ — целое число.

Что это даёт. Значение никогда не бывает отрицательным. Оно натуральное, только когда $P\ne0$ И оно не больше $10000=100^2$ только когда $P$ по модулю от $1$ до $100$ Значит, вопрос сводится к такому: какими бывают целые числа $P=(x+y)(y+z)(z+x)$ Заметим ещё, что $P$ и $-P$ дают одно и то же значение $P^2$

После подстановки

t=-(x+y+z)

каждая скобка — произведение двух сумм. Каждая сумма встречается ровно в двух скобках, поэтому произведение — квадрат числа

(x+y)(y+z)(z+x)

Число P всегда чётное

Попробуем получить самое маленькое натуральное значение — $1$ Для этого нужно $P=\pm1$ то есть все три суммы $x+y$ $y+z$ $z+x$ равны $1$ или $-1$ — все нечётные. Проверим, бывает ли так. Сложим три суммы:

\begin{aligned}&(x+y)+(y+z)+{}\\[0.45em]&+(z+x)=2(x+y+z).\end{aligned}

Справа — чётное число. А сумма трёх нечётных чисел нечётна. Значит, все три суммы не могут быть нечётными одновременно: хотя бы одна из них чётная. Тогда и произведение $P$ чётное — при любых $x$ $y$ $z$ не только в попытке получить $1$

Запишем $P=2m$ где $m$ — целое и $m\ne0$ Значение равно $P^2=4m^2$ Условие «не больше $10000$ » даёт $4m^2\le10000$ то есть $m^2\le2500$ и $|m|\le50$ Числа $m$ и $-m$ дают одно и то же значение, поэтому возможны только значения

4\cdot1^2,\ 4\cdot2^2,\ \ldots,\ 4\cdot50^2,

то есть $4, 16, 36, \ldots, 10000$ — квадраты чётных чисел от $2$ до $100$ Их $50$ и все они разные. Итак, различных значений не больше $50$ . В частности, нечётные квадраты $1, 9, 25, \ldots$ не получаются никогда.

Каждое из 50 значений получается

Осталось для каждого $m$ от $1$ до $50$ найти четвёрку, дающую $4m^2$ Нам нужно $P=2m$ Проще всего сделать две суммы равными $1$ а третью — равной $2m$

x+y=2m,\quad y+z=1,\quad z+x=1.

Из двух последних равенств $x=y$ тогда из первого $x=y=m$ а $z=1-m$ Четвёртое число $t=-(x+y+z)=-(m+m+1-m)=-m-1$ .

Проверим прямо по условию, не пользуясь разложением. Сумма: $m+m+(1-m)+(-m-1)=0$ Скобки:

\begin{aligned}&xy-zt={}\\[0.45em]&=m^2-(1-m)(-m-1)={}\\[0.45em]&=m^2+(1-m)(1+m)={}\\[0.45em]&=m^2+1-m^2=1,\end{aligned}

А так как $x=y$ две другие скобки равны между собой:

\begin{aligned}&xz-yt=yz-xt={}\\[0.45em]&=m(1-m)+m(m+1)=2m.\end{aligned}

Произведение $1\cdot2m\cdot2m=4m^2$ Например, $m=1$ четвёрка $1, 1, 0, -2$ даёт $1\cdot2\cdot2=4$ $m=50$ четвёрка $50, 50, -49, -51$ даёт $1\cdot100\cdot100=10000$

Значит, все $50$ чисел $4, 16, 36, \ldots, 10000$ получаются, а других натуральных значений до $10000$ нет.

Проверка

Проверим на числах. Четвёрка $2, 3, 4, -9$ скобки $6+36=42$ $8+27=35$ $12+18=30$ произведение $44100=210^2$ и действительно $(2+3)(3+4)(4+2)=5\cdot7\cdot6=210$ ; значение больше $10000$ и не считается. Четвёрка $1, -1, 5, -5$ скобка $xz-yt=5-5=0$ значение $0$ — не натуральное. Граница: $50, 50, -49, -51$ даёт ровно $10000$ а $51, 51, -50, -52$ — уже $1\cdot102\cdot102=10404>10000$ . Полный перебор всех $x, y, z$ от $-60$ до $60$ при $t=-x-y-z$ (тест модели, больше полутора миллионов четвёрок): значение ни разу не отрицательно и всегда точный квадрат, а натуральных значений не больше $10000$ ровно $50$ — числа $4m^2$ при $m=1, \ldots, 50$

Ответ

$50$ значений: это числа $4m^2$ при $m=1, 2, \ldots, 50$ то есть $4, 16, 36, \ldots, 10000$ — квадраты чётных чисел от $2$ до $100$

Ответ

$50$ значений: это числа $4m^2$ при $m=1, 2, \ldots, 50$ то есть $4, 16, 36, \ldots, 10000$ — квадраты чётных чисел от $2$ до $100$

Главная идея

Подстановка $t=-(x+y+z)$ превращает каждую скобку в произведение двух из трёх сумм $x+y$ $y+z$ $z+x$ и всё число оказывается квадратом их произведения $P$ Сумма трёх сумм равна $2(x+y+z)$ и чётна, поэтому $P$ чётно: значения — квадраты чётных чисел. Пример $x=y=m$ $z=1-m$ $t=-m-1$ даёт каждое из них.

Признаки: несколько переменных связаны линейным условием («сумма равна нулю»), а спрашивают, какие значения принимает выражение. Вырази одну переменную через остальные, подставь и попробуй разложить на множители группировкой. Вопрос «сколько различных значений» решай как «оценка и пример»: сначала выясни, какими значения обязаны быть, затем для каждого построй пример.

Где легко ошибиться

Заметить, что число — квадрат, и ответить $100$ (квадраты $1^2, 2^2, \ldots, 100^2$ ), не проверив, все ли квадраты получаются. Нечётных квадратов нет: для них все три суммы $x+y$ $y+z$ $z+x$ были бы нечётными, а их сумма $2(x+y+z)$ чётна. Другие ошибки — считать $m$ и $-m$ разными (они дают одно значение $4m^2$ ) или засчитать значение $0$ которое не натуральное.

Источник и авторство

Олимпиада имени Леонарда Эйлера · XVII олимпиада, сезон 2024/25 · дистанционный этап, ii тур · дата тура не указана в файле заданий · математика · 8 класс. Официальная задача 4, 7 баллов · автор задачи: Л. Самойлов, С. Берлов.

Условия задач (PDF организатора) ↗ · Решения организатора ↗ · Архив олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, объяснение и модели — Popov Academy. Авторский разбор Popov Academy проверен; результат сопоставлен с официальными материалами.

Продолжить тему: Преобразования выражений →

Тема, знания и приёмы

Преобразования выражений · Начальный вход

Вынесение общего множителя и разложение на множители группировкой
Чётность: сумма трёх нечётных чисел нечётна
Квадрат произведения: a^2b^2c^2 = (abc)^2
Задачи «оценка и пример»

Приёмы решения: Удачная подстановка или замена · Разложение на множители · Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →