Эйлер 2024/25 · Математика · 8 кл., №1 — решение

Условие

Сегодня у меня и моей сестры день рождения. Вместе нам $26$ лет, причем сестре в три раза меньше лет, чем мне будет тогда, когда нам вместе будет в пять раз больше лет, чем мне сейчас. Сколько сейчас лет моей сестре?

О задаче · 8 класс

Олимпиада: Олимпиада имени Леонарда Эйлера, XVII олимпиада
Этап: Дистанционный этап, II тур
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Дата: дата тура не указана в файле заданий

Возьми какой-нибудь возраст сестры, например $10$ лет, и проверь условия по очереди: сколько тогда лет мне, когда наступит «тогда» и сколько мне будет в этот момент? В модели «Сочини свою историю» можно задать возрасты и момент «тогда» — модель проверит каждое из трёх условий и объяснит, что не сходится.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеСочини свою историю

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Своя гипотеза

Сочини свою историю

Задай, сколько лет сейчас мне и сестре и через сколько лет наступит «тогда». Модель проверит все три условия задачи по очереди и объяснит, что не сходится. Получится ли история, в которой выполнено всё?

Без JavaScript модель не работает. Выпиши возрасты сейчас и через выбранное число лет и проверь по очереди: сумма сейчас 26? сумма тогда в пять раз больше моего возраста сейчас? мой возраст тогда втрое больше возраста сестры сейчас?

Подсказка 1

В задаче два момента: «сейчас» и «тогда». Обозначь буквой возраст сестры сейчас и вырази через неё мой возраст сейчас и мой возраст тогда. Что не меняется со временем, если у нас общий день рождения?

Подсказка 2

Разница наших возрастов всегда одна и та же, а сумма растёт на $2$ в год. Если сестре сейчас $s$ лет, то мне тогда $3s$ а сестра тогда младше меня на ту же разницу, что и сейчас. Найди сумму возрастов «тогда» двумя способами и приравняй.

Разобрать решение по шагам

Принятые допущения

Возраст — целое число лет. День рождения у меня и у сестры в один день, поэтому оба возраста растут одновременно, а «тогда» наступает через целое число лет. Решению это не нужно: уравнение шага 3 получается и без этого, а найденный ответ этому удовлетворяет.
Слова «сестре в три раза меньше лет, чем мне будет тогда» относятся к нынешнему возрасту сестры: про сестру сказано в настоящем времени, «будет тогда» — только про меня. Другое прочтение («сестре тогда втрое меньше, чем мне тогда») приводит к отрицательному возрасту (мне $-52$ года), то есть невозможно.

Разбираем длинную фразу

В условии два момента: сейчас и тогда. Длинную фразу удобно читать с конца.

«Когда нам вместе будет в пять раз больше лет, чем мне сейчас» — это и есть определение момента «тогда»: сумма наших возрастов тогда равна моему нынешнему возрасту, умноженному на $5$

«Сестре в три раза меньше лет, чем мне будет тогда» — «будет» сказано только про меня, а про сестру — в настоящем времени. Значит, нынешний возраст сестры втрое меньше моего возраста тогда. Иначе говоря, мне тогда будет втрое больше, чем сестре сейчас.

Обозначим возраст сестры сейчас буквой $s$ Вместе нам $26$ поэтому мне сейчас $26-s$ лет. А мне «тогда» будет $3s$ лет. Одной буквы хватает: сумма $26$ уже связала два нынешних возраста.

Что не меняется со временем

Пусть «тогда» наступит через $t$ лет. У нас общий день рождения, поэтому за каждый год мы оба становимся старше на $1$ Отсюда два простых, но главных факта.

Разница возрастов не меняется. Сейчас я старше сестры на $(26-s)-s=26-2s$ лет — и через $t$ лет буду старше ровно на столько же: к обоим возрастам прибавилось одно и то же число $t$

Сумма возрастов растёт на $2$ в год: каждый год прибавляется год мне и год сестре.

Если вдруг $26-2s$ окажется отрицательным, это значит лишь, что старше сестра; вычисления ниже от этого не меняются.

Сумма «тогда» — двумя способами

Посчитаем, сколько нам будет вместе в момент «тогда».

Первый способ — через возрасты тогда. Мне тогда $3s$ лет (шаг 1). Сестра тогда младше меня на ту же разницу $26-2s$ (шаг 2), значит, ей тогда

3s-(26-2s)=5s-26

лет. Вместе: $3s+(5s-26)=8s-26$

Второй способ — по определению момента «тогда». Вместе нам тогда в пять раз больше, чем мне сейчас: $5\cdot(26-s)=130-5s$

Это одна и та же сумма, поэтому

8s-26=130-5s.

Обрати внимание: само число лет $t$ нам не понадобилось — разница возрастов позволила обойтись без него.

Возрасты сейчас и тогда: к каждой полоске прибавлено одно и то же число лет

t

поэтому разница

26-2s

та же, и сестре тогда

3s-(26-2s)=5s-26

Решаем уравнение

Перенесём слагаемые с $s$ влево, а числа вправо:

8s+5s=130+26,\qquad 13s=156,\qquad s=12.

Мы не угадывали: любое $s$ удовлетворяющее условию, обязано удовлетворять этому уравнению, а у уравнения $13s=156$ ровно одно решение. Значит, кроме $s=12$ ничего подойти не может. Осталось убедиться, что при $s=12$ всё условие действительно выполняется и момент «тогда» существует.

Проверка: такая история есть

Сестре сейчас $12$ лет, мне $26-12=14$ вместе $26$ — верно.

Вместе нам будет в пять раз больше, чем мне сейчас, то есть $5\cdot 14=70$ лет. Сумма растёт на $2$ в год, а расти ей нужно на $70-26=44$ поэтому «тогда» наступит через $44:2=22$ года — в будущем, как и сказано в условии («будет»).

Через $22$ года мне будет $14+22=36$ сестре $12+22=34$ вместе $36+34=70$ — верно. И $36:3=12$ — сестре сейчас действительно втрое меньше, чем мне будет тогда.

Проверка

Подстановка: сейчас $14+12=26$ через $22$ года $36+34=70=5\cdot 14$ $36:3=12$ Все три условия выполнены. Независимый перебор в тесте модели: все целые возрасты от $0$ до $60$ у каждого и все сроки «тогда» от $0$ до $80$ лет — подходит только история «мне $14$ сестре $12$ через $22$ года»; при сумме $26$ и сроках от $-100$ до $200$ лет (то есть даже с моментами в прошлом) решение тоже одно. Ещё одна проверка того же вывода: среди историй, где верны первые два условия (мне чётное число лет от $6$ до $26$ ), разность «мой возраст тогда минус утроенный возраст сестры сейчас» меняется ровно на $13$ когда сестре на $2$ года больше, и обращается в ноль только при возрасте сестры $12$ — как и в уравнении $13s=156$

Ответ

Сестре сейчас $12$ лет (мне $14$ через $22$ года мне будет $36$ сестре $34$ ).

Ответ

Сестре сейчас $12$ лет (мне $14$ через $22$ года мне будет $36$ сестре $34$ ).

Главная идея

Разница возрастов не меняется со временем, а сумма двух возрастов растёт на $2$ в год. Обозначив возраст сестры через $s$ получаем: мне тогда $3s$ сестре тогда $3s-(26-2s)=5s-26$ Сумма тогда, посчитанная двумя способами, даёт $8s-26=5(26-s)$ откуда $s=12$

Признаки: несколько моментов времени («сейчас», «тогда», «когда-то»), причём один момент задан через другой. Обозначь одну неизвестную, составь табличку «кто — сейчас — тогда» и пользуйся тем, что разница возрастов постоянна, а каждый возраст растёт на одно и то же число лет. Так же решаются задачи вида «мне столько лет, сколько было вам, когда…».

Где легко ошибиться

Прочитать «сестре в три раза меньше лет, чем мне будет тогда» как «сестре тогда будет втрое меньше, чем мне тогда». При таком прочтении получается, что мне сейчас $-52$ года, — сигнал перечитать условие: про сестру сказано в настоящем времени. Другая ошибка — считать, что сумма возрастов растёт на $1$ в год: стареют оба, поэтому она растёт на $2$

Источник и авторство

Олимпиада имени Леонарда Эйлера · XVII олимпиада, сезон 2024/25 · дистанционный этап, ii тур · дата тура не указана в файле заданий · математика · 8 класс. Официальная задача 1, 7 баллов · автор задачи: Одесса, районный тур, 1991/92.

Условия задач (PDF организатора) ↗ · Решения организатора ↗ · Архив олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, объяснение и модели — Popov Academy. Авторский разбор Popov Academy проверен; результат сопоставлен с официальными материалами.

Продолжить тему: Уравнения и системы →

Тема, знания и приёмы

Уравнения и системы · Нужна школьная база

Разница возрастов двух людей не меняется со временем
Линейное уравнение с одной неизвестной
Перевод словесного условия в выражения с буквой

Приёмы решения: Инвариант или монотонная величина

Задать вопрос по задаче →