Математика · 8 класс · Дистанционный этап, II тур

Сегодня у меня и моей сестры день рождения. Вместе нам $26$ лет, причем сестре в три раза меньше лет, чем мне будет тогда, когда нам вместе будет в пять раз больше лет, чем мне сейчас. Сколько сейчас лет моей сестре?

Три биссектрисы неравнобедреннего треугольника пересекаются в точке $I$. Докажите, что каждое из расстояний от точки $I$ до вершин треугольника меньше длины средней по величине стороны треугольника.

В каждой клетке шахматной доски стоит нуль. Петя и Вася играют в игру. Ходят по очереди, начинает Петя. Петя каждым своим ходом выбирает какой-то квадрат из четырех клеток и к каждому из чисел, стоящих в этом квадрате, прибавляет нуль или единицу, по своему выбору (выбор для каждой из четырех клеток совершается отдельно, то есть может случиться, что в некоторых клетках прибавляется нуль, а в некоторых — единица). Вася своим ходом выбирает какую-то клетку и прибавляет к стоящему в ней числу нуль или единицу, по своему выбору. Петя хочет, чтобы после $2024$-го хода (т. е., после того как он и Вася сделают по $1012$ ходов) на доске было как можно больше нечетных чисел. Какое наибольшее количество нечетных чисел он может получить независимо от действий Васи?

Целые числа $x, y, z, t$ таковы, что $x+y+z+t=0$. Сколько различных натуральных значений, не превосходящих $10000$, может принимать число

Числа от $1$ до $1000000$ разбили на $100000$ десятков (то есть групп от $10a+1$ до $10a+10$) и в каждом десятке покрасили одно число в красный цвет, а другое в зелёный. Докажите, что можно выбрать несколько (не более $50$) красных чисел и столько же зелёных чисел так, чтобы сумма выбранных красных чисел была равна сумме выбранных зелёных.