Эйлер 2024/25 · Математика · 8 кл., №2 — решение

Условие

Три биссектрисы неравнобедреннего треугольника пересекаются в точке $I$ Докажите, что каждое из расстояний от точки $I$ до вершин треугольника меньше длины средней по величине стороны треугольника.

О задаче · 8 класс

Олимпиада: Олимпиада имени Леонарда Эйлера, XVII олимпиада
Этап: Дистанционный этап, II тур
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Дата: дата тура не указана в файле заданий

Нарисуй неравнобедренный треугольник, проведи биссектрисы и измерь расстояния от точки их пересечения до вершин. Какое расстояние самое длинное и насколько оно близко к средней стороне? В модели «Попробуй сломать неравенство» тяни вершины и ищи треугольник, где утверждение нарушится; если не выйдет, заметь, при какой форме треугольника расстояние подходит к средней стороне ближе всего.

Задача на доказательство, числового ответа нет. Нужно доказать, что каждое из расстояний $IA$ $IB$ $IC$ меньше средней по длине стороны треугольника. Свои треугольники можно проверить в модели «Попробуй сломать неравенство».

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПопробуй сломать неравенство

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Своя гипотеза

Попробуй сломать неравенство

Тяни вершины треугольника по сетке. Модель проводит биссектрисы, находит точку I и сравнивает IA, IB, IC со средней стороной. Найдёшь неравнобедренный треугольник, где какое-то расстояние не меньше средней стороны? А если нет — при какой форме треугольника расстояние подходит к ней ближе всего?

Без JavaScript модель не работает. Нарисуй на клетчатой бумаге два-три неравнобедренных треугольника, в том числе очень вытянутый, построй биссектрисы и измерь расстояния от точки их пересечения до вершин и стороны; почему расстояния всегда короче средней стороны, объясняют шаги 2–4 разбора.

Подсказка 1

Отрезок $IA$ и сторона $AC$ — две стороны треугольника $AIC$ Как в одном треугольнике понять, какая сторона длиннее, не измеряя? Вспомни, против какого угла лежит большая сторона, и вырази угол $AIC$ через углы треугольника $ABC$

Подсказка 2

Углы $IAC$ и $ICA$ — половинки углов $A$ и $C$ вместе они меньше $90^\circ$ поэтому угол $AIC$ тупой и $IA < AC$ $IC < AC$ С треугольниками $AIB$ и $BIC$ то же самое: расстояние от $I$ до вершины меньше обеих сторон, выходящих из этой вершины. Осталось понять, почему у каждой вершины одна из двух её сторон не длиннее средней.

Разобрать решение по шагам

Что с чем сравниваем

Точка $I$ в которой пересекаются биссектрисы, лежит внутри треугольника. Треугольник неравнобедренный, то есть все стороны разной длины, и «средняя по величине сторона» — ровно одна. Назовём вершины так, чтобы $BC < AC < AB$ тогда $AC$ — средняя сторона, $BC$ — наименьшая, $AB$ — наибольшая. Нужно доказать три неравенства:

IA < AC,\quad IB < AC,\quad IC < AC.

Как сравнить отрезки, которые лежат в разных местах рисунка? Удобнее всего, когда они — стороны одного треугольника: тогда длины сравниваются через углы, ведь против большего угла лежит большая сторона. Отрезки $IA$ $IB$ $IC$ режут треугольник $ABC$ на три треугольника: $AIB$ $BIC$ и $AIC$ В каждом из них есть и отрезки от $I$ до вершин, и сторона треугольника $ABC$ — их и будем изучать.

Угол при точке I тупой

Рассмотрим треугольник $AIC$ Отрезок $AI$ лежит на биссектрисе угла $A$ поэтому $\angle IAC = \frac12\angle A$ ; так же $\angle ICA = \frac12\angle C$ . Углы треугольника $ABC$ в сумме дают $180^\circ$ а $\angle B > 0^\circ$ значит, $\angle A + \angle C < 180^\circ$ и

\begin{aligned}&\angle IAC + \angle ICA ={}\\[0.45em]&= \frac{\angle A + \angle C}{2} < 90^\circ.\end{aligned}

Тогда третий угол треугольника $AIC$

\begin{aligned}\angle AIC &= 180^\circ - \frac{\angle A + \angle C}{2}\\[0.45em] &> 90^\circ\end{aligned}

— тупой (рисунок ниже). Если подставить $\angle A + \angle C = 180^\circ - \angle B$ , получится точная формула $\angle AIC = 90^\circ + \frac12\angle B$ .

Ровно так же тупые углы $AIB$ и $BIC$ в каждом из этих треугольников два угла — половинки двух углов треугольника $ABC$ и вместе они меньше $90^\circ$

Пунктир — три биссектрисы,

I

— точка их пересечения. В закрашенном треугольнике

AIC

углы при

A

C

— половинки углов треугольника

ABC

(одна и две дужки), вместе они меньше

90^\circ

Поэтому угол

AIC

(фиолетовая дуга) тупой. Рисунок построен точно: углы треугольника

35^\circ

60^\circ

85^\circ

угол

AIC

равен

120^\circ

Против тупого угла — самая длинная сторона

Если в треугольнике есть тупой угол, то два других угла вместе меньше $90^\circ$ поэтому каждый из них меньше тупого. А против большего угла лежит большая сторона. Значит, сторона против тупого угла длиннее двух других сторон.

Применим это к трём треугольникам:

в треугольнике $AIC$ против тупого угла $AIC$ лежит $AC$ поэтому $IA < AC$ и $IC < AC$

в треугольнике $AIB$ против тупого угла лежит $AB$ $IA < AB$ и $IB < AB$

в треугольнике $BIC$ против тупого угла лежит $BC$ $IB < BC$ и $IC < BC$

Вывод: расстояние от $I$ до любой вершины меньше каждой из двух сторон, выходящих из этой вершины. Например, $IA$ меньше и $AB$ и $AC$ $IB$ меньше и $AB$ и $BC$

Для каждой вершины берём подходящую сторону

Длиннее средней стороны только одна сторона — наибольшая $AB$ Поэтому из двух сторон, выходящих из любой вершины, хотя бы одна не длиннее средней. Разберём вершины.

Вершины $A$ и $C$ — концы средней стороны $AC$ По шагу 3 $IA < AC$ и $IC < AC$

Вершина $B$ на средней стороне не лежит: из неё выходят наибольшая сторона $AB$ и наименьшая $BC$ Неравенство $IB < AB$ здесь не помогает — $AB$ длиннее средней. Помогает второе: $IB < BC$ а $BC < AC$ поэтому $IB < BC < AC$

Все три расстояния меньше средней стороны $AC$ (рисунок ниже), что и требовалось доказать.

Где понадобилась неравнобедренность: только чтобы переименование вершин было однозначным, а «средняя сторона» — одна. Само рассуждение этого не требует: если две стороны равны, средней по величине можно считать любую из них (при $BC < AC = AB$ — сторону длины $AC$ ), и неравенства шага 3 вместе с шагом 4 доказывают то же самое. Так что утверждение верно и для равнобедренных треугольников.

AC

— средняя сторона (оранжевая),

BC

— наименьшая,

AB

— наибольшая. Вершины

A

C

лежат на средней стороне:

IA < AC

IC < AC

Вершина

B

на ней не лежит, для неё нужна наименьшая сторона:

IB < BC < AC

Проверка

Проверка на треугольнике с рисунков: углы $35^\circ$ $60^\circ$ $85^\circ$ средняя сторона $AC = 1$ По теореме синусов $BC \approx 0{,}662$ $AB \approx 1{,}150$ радиус вписанной окружности $r \approx 0{,}235$ а расстояние от $I$ до вершины равно $r$ делённому на синус половины угла: $IA \approx 0{,}780$ $IB \approx 0{,}469$ $IC \approx 0{,}347$ — все меньше $1$ и $IB < BC$ как в шаге 4. Углы при $I$ $\angle AIC = 120^\circ$ $\angle AIB = 132{,}5^\circ$ , $\angle BIC = 107{,}5^\circ$ — все тупые. Оценку улучшить нельзя: по теореме синусов в треугольнике $AIC$ (при наименьшем угле $A$ ) $IA : AC = \sin\frac{\angle C}{2} : \sin\frac{\angle A + \angle C}{2}$ , и для треугольника с углами $2^\circ$ $88^\circ$ $90^\circ$ это примерно $0{,}983$ когда наименьший угол стремится к нулю, отношение стремится к $1$ но не достигает его. Компьютерная проверка в тесте модели (отдельный расчёт, не движок модели): во всех неравнобедренных треугольниках с вершинами в узлах сетки $6 \times 6$ и в $20\,000$ треугольниках поля модели каждое из расстояний $IA$ $IB$ $IC$ меньше обеих сторон при своей вершине и меньше средней стороны; среди всех $12\,314\,192$ неравнобедренных треугольников поля модели $24 \times 16$ наибольшее расстояние доходит примерно до $0{,}9999977$ средней стороны — близко к $1$ но меньше.

Ответ

Доказано. Углы $AIB$ $BIC$ $AIC$ тупые, поэтому расстояние от $I$ до вершины меньше обеих сторон, выходящих из этой вершины. Для концов средней стороны это сама средняя сторона, а для третьей вершины — наименьшая сторона, которая короче средней.

Ответ

Главная идея

Угол при точке пересечения биссектрис тупой: $\angle AIC = 180^\circ - \frac{\angle A + \angle C}{2} > 90^\circ$ . Против тупого угла лежит самая длинная сторона, поэтому каждое расстояние от $I$ до вершины короче обеих сторон при этой вершине, а при каждой вершине есть сторона не длиннее средней.

Нужно сравнить отрезок от точки внутри треугольника со сторонами — найди треугольник, где они стоят рядом, и сравни углы: против большего угла большая сторона, против тупого — самая большая. У точки пересечения биссектрис углы видны сразу: $90^\circ$ плюс половина третьего угла. Если в условии «средняя» сторона, отдельно разберись с вершиной, которая на ней не лежит.

Где легко ошибиться

Доказать $IA < AC$ и $IC < AC$ и написать «для $IB$ аналогично». Вершина $B$ не лежит на средней стороне: из неё выходят наибольшая и наименьшая стороны, и неравенство $IB < AB$ ничего не доказывает — нужен путь $IB < BC < AC$ Другие ошибки: спутать $I$ с центром описанной окружности и считать, что $IA = IB = IC$ «проверить» утверждение измерением на одном удобном рисунке. У вытянутого треугольника расстояние может отличаться от средней стороны меньше чем на процент — глазом этого не увидеть, нужна причина.

Источник и авторство

Олимпиада имени Леонарда Эйлера · XVII олимпиада, сезон 2024/25 · дистанционный этап, ii тур · дата тура не указана в файле заданий · математика · 8 класс. Официальная задача 2, 7 баллов · автор задачи: И. Рубанов.

Условия задач (PDF организатора) ↗ · Решения организатора ↗ · Архив олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, объяснение и модели — Popov Academy. Авторский разбор Popov Academy проверен; результат сопоставлен с официальными материалами.

Продолжить тему: Треугольники и углы →

Тема, знания и приёмы

Треугольники и углы · Нужна школьная база

Сумма углов треугольника равна 180^circ
Биссектриса делит угол пополам; три биссектрисы пересекаются в одной точке внутри треугольника
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона

Приёмы решения: Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →