Физика · 2025/26 · Заключительный этап

Голубь на краю доски

Условие

Однородная доска длины LL выступает за край крыши на b<L2b<\frac L2. Голубь, в nn раз легче доски, идёт от конца AA к концу BB со скоростью vv. Когда доска достигнет границы опрокидывания?

К условию
Голубь на доске AB длины L; выступ за край крыши равен bLbvABКрышаКрай крышиГолубь идёт от A к B
Голубь начинает путь у A. Длина всей доски — L, выступ за край крыши — b; стрелка показывает направление скорости v.
О задаче · 7 класс · баллы не подтверждены
Олимпиада
Надежда энергетики
Предмет / класс
Физика · 7 класс
Сезон / этап
2025/26 · Заключительный этап
Комплект
Вариант 27771 · задача 3
Официальные баллыНе подтверждены
Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 7 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Подвигайте голубя

Пример: L = 4 м, b = 1,6 м, n = 3, v = 0,2 м/с. Координаты отсчитываются от A вдоль горизонтальной доски.

край крышиAB● общий центр масс

Время: 0 с. Центр масс: 1,5 м от A.

В начале центр масс находится над опорой. В этом примере он достигает края крыши через 18 с, когда голубь проходит 3,6 м.

В точности над краем — предельное равновесие. За краем — потеря равновесия: горизонтальная схема показывает причину, а не динамику падения. При воспроизведении движение останавливается на границе; следующий пуск показывает условные положения за ней.
Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Граница равновесия наступит, когда общий центр масс окажется над краем крыши.

Подсказка 2

Центр доски находится на L2\frac L2 от AA, край крыши — на L−bL-b. Положение голубя через время tt равно vtvt.

Разобрать решение по шагам
01

Находим удерживающее плечо

Пусть масса доски MM, тогда масса голубя Mn\frac Mn. Центр однородной доски — в её середине, на расстоянии L2\frac L2 от AA. Край крыши находится дальше, на расстоянии L−bL-b от AA.

Поэтому удерживающее плечо веса доски относительно края равно

dдоски=(L−b)−L2=L2−b>0.d_{\text{доски}}=(L-b)-\frac L2=\frac L2-b>0.
02

Уравниваем моменты

В предельном состоянии голубь уже правее края крыши. За время tt он прошёл vtvt, но его плечо — расстояние от края, а не от начала доски:

dголубя=vt−(L−b).d_{\text{голубя}}=vt-(L-b).

Момент веса голубя равен удерживающему моменту доски:

Mng(vt−(L−b))=Mg(L2−b).\frac Mn g\bigl(vt-(L-b)\bigr)=Mg\left(\frac L2-b\right).
03

Выражаем время

Сократим MgMg, умножим на nn и прибавим L−bL-b:

vt−(L−b)=n(L2−b),vt=L−b+n(L2−b).\begin{aligned}vt-(L-b)&=n\left(\frac L2-b\right),\\[0.45em]vt&=L-b+n\left(\frac L2-b\right). \end{aligned}

Значит, время достижения границы равновесия

t∗=L−b+n(L2−b)v.t_*=\frac{L-b+n\left(\frac L2-b\right)}v.
04

Проверяем, успеет ли доска опрокинуться

Формула имеет смысл на доске, только если vt∗≤Lvt_*\le L. Подставим найденный путь:

L−b+n(L2−b)≤L⟺n(L2−b)≤b.L-b+n\left(\frac L2-b\right)\le L\quad\Longleftrightarrow\quad n\left(\frac L2-b\right)\le b.

При строгом неравенстве голубь достигает границы равновесия до конца BB; следующий шаг нарушает устойчивость. При равенстве граница достигается ровно в BB. Если левая часть больше bb, голубь может пройти всю доску — его веса недостаточно для опрокидывания.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ
t∗=L−b+n(L2−b)v.t_*=\frac{L-b+n\left(\frac L2-b\right)}v.

Граница достижима на доске при n(L2−b)≤bn\left(\frac L2-b\right)\le b. Иначе доска не опрокинется при таком проходе.

Главная идея

После получения формулы проверьте, достижимо ли найденное положение в реальной геометрии задачи.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если груз движется к краю опоры, сравнивайте моменты относительно этого края и проверяйте, достижимо ли критическое положение.

Возможная ошибка

Принять плечо голубя за весь путь vtvt: момент считают относительно края крыши, а не относительно AA.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · задача 3 ↗

Надежда энергетики · 2025/26 · физика · 7 класс · заключительный этап · вариант 27771.

Официальное решение ↗

Сохранён существующий разбор. В этой редакции проверены формулы, единицы и наглядные состояния; новая слепая сверка с официальным решением не проводилась.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Равновесие и моменты →
Тема, знания и приёмы

Равновесие и моменты · Нужна школьная база

  • Плечо и момент силы
  • Центр тяжести однородной доски
  • Связь пути, скорости и времени

Приёмы решения: Баланс моментов сил · Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →
Учебная схема