Бельчонок 2024/25 · Математика · 6 кл., №5 — решение · финал

Условие

Артём записал числа $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ Потом он разбил все числа на пары, и вместо каждой пары записал одно неотрицательное число, равное разности чисел в этой паре. После этого получилось $4$ числа. Артём повторил эту операцию ещё $2$ раза, и осталось одно число. Каким могло быть это число? Укажите все возможные значения и докажите, что других нет.

О задаче · 6 класс · 20 баллов

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Сезон / этап: 2024/25 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 5

Официальные баллы20 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 6 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Неотрицательная разность двух чисел не больше большего из них. Какое самое большое число может появиться уже после первого раунда?

Подсказка 2

Чётность суммы двух чисел и их неотрицательной разности одинакова. Проследите чётность общей суммы.

Разобрать решение по шагам

Ограничим итог сверху

Первая разность не больше $8-1=7$ В следующих раундах берутся неотрицательные разности чисел от $0$ до $7$ поэтому снова получаются числа не больше $7$ Значит, итог находится между $0$ и $7$

Заметим сохранение чётности суммы

Пусть в паре большее число $x$ меньшее $y$ Вместо суммы $x+y$ остаётся $x-y$ сумма уменьшается на $2y$ то есть на чётное число. Поэтому после замены всех пар чётность общей суммы не меняется. Исходная сумма $1+2+\cdots+8=36$ чётная. Когда останется одно число, оно тоже будет чётным.

Оставим возможные кандидаты

Чётные неотрицательные числа не больше $7$ — это $0,2,4,6$ Но пока это лишь кандидаты: для каждого нужен пример.

Построим четыре примера

В таблице записаны пары первого раунда и получившиеся четыре числа. Затем объединяем первые два и последние два числа; берём их неотрицательные разности. Последний шаг — разность двух чисел предпоследнего столбца.

Итог	Пары первого раунда	После первого	После второго
$0$	$(1,2),\ (3,4),\ (5,6),\ (7,8)$	$1,\ 1,\ 1,\ 1$	$0,\ 0$
$2$	$(1,2),\ (3,4),\ (5,8),\ (6,7)$	$1,\ 1,\ 3,\ 1$	$0,\ 2$
$4$	$(1,2),\ (3,8),\ (4,5),\ (6,7)$	$1,\ 5,\ 1,\ 1$	$4,\ 0$
$6$	$(1,8),\ (2,3),\ (4,5),\ (6,7)$	$7,\ 1,\ 1,\ 1$	$6,\ 0$

Сделаем вывод

В каждом примере числа от $1$ до $8$ использованы ровно один раз, а разности неотрицательны. Все четыре кандидата получены, а остальные исключены оценкой и чётностью.

Ответ

$0$ $2$ $4$ или $6$

Главная идея

Инвариант чётности и верхняя граница вместе оставляют короткий список, который нужно подтвердить примерами.

Как заметить эту идею в другой задаче

В повторяющихся заменах ищите, что сохраняется, и отдельно проверяйте, какие величины не могут расти.

Возможная ошибка

Получить несколько результатов перебором и объявить список полным, не объяснив невозможность остальных.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 29, 30 · задача 5 ↗

Бельчонок · 2024/25 · математика · 6 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 30 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Примечания к источнику

В двух цепочках официального примера на странице 30 после первого раунда ошибочно оставлено четыре числа вместо двух. По условию длина списка меняется $8\to4\to2\to1$ В наших примерах все три раунда выписаны с правильным числом элементов; итоговые ответы совпадают.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Чётность →

Тема, знания и приёмы

Чётность · Нужна школьная база

Чётность
Неотрицательная разность
Сумма натуральных чисел

Приёмы решения: Инвариант или монотонная величина · Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →