Средняя по месту и средняя по высоте

Запишем среднее арифметическое

Сумма четырёх известных высот равна $6+9+12+15=42$. С новой шишкой сумма $42+a$, поэтому средняя высота

Высота средней по месту шишки зависит от положения $a$ в упорядоченном ряду.

Если новая шишка не выше 9 см

При $a\le9$ третья из пяти шишек имеет высоту $9$. Требуется $\frac{42+a}{5}=9$, значит, $42+a=45$ и $a=3$. Значение подходит: ряд $3,6,9,12,15$.

Если новая шишка между 9 и 12 см

При $9\le a\le12$ она сама стоит посередине. Поэтому $\frac{42+a}{5}=a$, откуда $42=4a$ и $a=10{,}5$. Ряд $6,9,10{,}5,12,15$ подтверждает этот случай.

Если новая шишка не ниже 12 см

При $a\ge12$ третья высота равна $12$. Получаем $\frac{42+a}{5}=12$, значит, $42+a=60$ и $a=18$. Ряд $6,9,12,15,18$ подходит.

Проверим полноту

Три случая покрывают все положительные высоты. Границы $9$ и $12$ рассмотрены, но уравнения не дали их в ответе. Следовательно, других значений нет.