Бельчонок 2023/24 · Математика · 5 кл., №5 — решение · финал

Условие

Бельчата Рыжик и Пух по очереди берут орехи из кучи. За один раз можно взять не больше половины оставшихся орехов. Орехи берут целиком, на части делить их нельзя. Тот, кто сможет взять последним, выиграет. Первым берёт Рыжик. Кто из них может выиграть при любых действиях другого, если сначала в куче было $40$ орехов? Напишите, как должен действовать победитель.

О задаче · 5 класс · 20 баллов

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 5 класс
Сезон / этап: 2023/24 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 5

Официальные баллы20 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 5 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Попробуйте нарушить стратегию Рыжика

Рыжик уже взял 9 орехов из 40 и оставил 31. Вы играете за Пуха: выберите разрешённый ход. Модель сразу покажет ответ Рыжика из разобранной стратегии.

В куче: 31 орех

Сколько орехов берёт Пух: 1

Выберите ход Пуха. Таблица стратегии приведена в решении.

Рыжик: 40 − 9 = 31.

Статичная проверка всех возможных ответов

После $31$ Пух оставляет от $16$ до $30$ Рыжик берёт ровно столько, чтобы осталось $15$ Далее: из диапазона $8$ – $14$ оставляет $7$ из $4$ – $6$ оставляет $3$ из $2$ оставляет $1$

Это пошаговая игра без автоматической анимации. До следующего нажатия состояние не меняется.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

При одном орехе ходов нет. Какие маленькие кучи нужно оставлять сопернику?

Подсказка 2

Рассмотрите кучи из $1$ $3$ $7$ $15$ $31$ ореха. Между соседними такими числами игрок может за один ход вернуться к меньшему.

Разобрать решение по шагам

Начинаем с конца игры

При $1$ орехе взять целый орех нельзя: это больше половины. Игрок без хода проигрывает. При $2$ орехах можно взять $1$ и выиграть. При $3$ разрешено взять только $1$ сопернику останется выигрышная куча из $2$ Значит, $3$ — тоже невыгодная куча для того, кто ходит.

Находим цепочку неудобных куч

Следующие удобные для нашей стратегии числа: $7$ $15$ $31$ Если сопернику оставлено $7$ после его хода останется от $4$ до $6$ орехов. Из любого такого числа можно оставить $3$ взять от $1$ до $3$ то есть не больше половины. Аналогично после хода из $15$ можно оставить $7$ а после хода из $31$ — $15$

Оставили сопернику	После его хода осталось	Нашим ходом оставляем
$31$	$16$ – $30$	$15$
$15$	$8$ – $14$	$7$
$7$	$4$ – $6$	$3$
$3$	$2$	$1$

Первый ход Рыжика

Рыжик берёт $40-31=9$ орехов. Ход разрешён: $9\le20$ Теперь он следует таблице и после каждого хода Пуха оставляет соответственно $15$ $7$ $3$ $1$

Почему ответный ход всегда разрешён

Например, после $31$ у Пуха останется число $n$ от $16$ до $30$ Рыжик берёт $n-15$ орехов. Это положительное число, а $n-15\le\frac n2$ поскольку $n\le30$ В следующих строках работает тот же принцип. Последним Рыжик забирает один орех из двух и оставляет один: у Пуха больше нет хода.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

Рыжик. Сначала взять $9$ орехов, затем своими ходами оставлять $15$ $7$ $3$ и $1$

Главная идея

Выигрышную стратегию удобно строить от маленьких проигрышных состояний к большим.

Как заметить эту идею в другой задаче

В игре с уменьшающейся кучей сначала найдите состояния без ходов и позиции, из которых любой ход отдаёт преимущество сопернику.

Возможная ошибка

Победа означает сделать последний разрешённый ход, а не забрать последний орех. Из одного ореха ход невозможен.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 10 · задача 5 ↗

Бельчонок · 2023/24 · математика · 5 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 20 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Игры и стратегии →

Тема, знания и приёмы

Игры и стратегии · Начальный вход

Половина целого числа
Допустимый ход игры

Приёмы решения: Переход от шага к следующему · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →