Бельчонок 2023/24 · Математика · 5 кл., №2 — решение · финал

Условие

Фигура (см. рисунок) состоит из одинаковых квадратных клеток, плашка — прямоугольник $1\times2$ состоит из двух таких же клеток. Сколько плашек можно разместить в фигуре без наложения?

Собственная точная перерисовка фигуры условия; каждая маленькая клетка — квадрат.

О задаче · 5 класс · 20 баллов

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 5 класс
Сезон / этап: 2023/24 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 2

Официальные баллы20 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 5 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Раскрасьте клетки в шахматном порядке. Какие цвета покрывает одна плашка?

Подсказка 2

Клеток двух цветов разное количество. Сначала получите верхнюю границу, затем покажите раскладку, которая её достигает.

Разобрать решение по шагам

Почему одного подсчёта площади мало

В фигуре $28$ клеток. По площади могли бы поместиться $14$ плашек, но форма фигуры может помешать. Поэтому нужна проверка, учитывающая соседство клеток.

Раскрашиваем и получаем ограничение

При шахматной раскраске получаются $15$ светлых и $13$ синих клеток. Любые две соседние клетки имеют разные цвета. Поэтому каждая плашка занимает ровно одну синюю клетку, а разных плашек не может быть больше $13$

15

светлых и

13

синих клеток. Одна плашка всегда покрывает по одной клетке каждого цвета.

Достигаем найденной границы

На рисунке показаны $13$ плашек: у каждой пары клеток одинаковый номер и общий толстый контур. Они не перекрываются. Две светлые клетки остаются свободными. Значит, верхняя граница достигается.

Каждый номер обозначает одну плашку, а не одну клетку.

Ответ

Максимум — $13$ плашек.

Главная идея

Для максимума нужны две части: запрет на большее число и пример, достигающий границы.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если фигуру заполняют домино, проверьте шахматную раскраску: каждое домино забирает по клетке каждого цвета.

Возможная ошибка

Деление площади на $2$ даёт только верхнюю границу. Оно не доказывает, что $14$ плашек действительно можно уложить.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 10 · задача 2 ↗

Бельчонок · 2023/24 · математика · 5 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 18, 19 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Преобразования и разбиения →

Тема, знания и приёмы

Преобразования и разбиения · Начальный вход

Шахматная раскраска
Подсчёт клеток

Приёмы решения: Раскраска · Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →