Бельчонок 2023/24 · Математика · 5 кл., №1 — решение · финал

Условие

Петя, Вася, Серёжа и Миша катались с горки. Фамилия одного из мальчиков была Петров, другого Васильев, у остальных — Сергеев и Михайлов. Петя скатился с горки на два раза больше, чем Петров. Вася скатился с горки на два раза больше, чем Васильев, Серёжа скатился с горки на два раза больше, чем Сергеев. Кто скатился с горки больше, и на сколько раз, Миша или Михайлов?

О задаче · 5 класс · 20 баллов

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 5 класс
Сезон / этап: 2023/24 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 1

Официальные баллы20 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy2/5 · предварительно

Для подготовки: 5 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Если перечислить спуски сначала по именам, а затем по фамилиям, изменится ли их общее число?

Подсказка 2

У первых трёх имён вместе на $2+2+2$ спуска больше, чем у первых трёх фамилий. Чем компенсируется разница?

Разобрать решение по шагам

Два списка — одни и те же мальчики

Не нужно устанавливать все фамилии. Каждый спуск одного из четырёх мальчиков входит и в список по именам, и в список по фамилиям. Поэтому суммы четырёх чисел равны.

Сравниваем первые три слагаемых

Петя сделал на $2$ спуска больше Петрова; такую же разницу дают Вася и Серёжа. Значит, первые три имени дают вместе на $2+2+2=6$ спусков больше первых трёх фамилий.

Сравнение	Разница
Петя — Петров	$+2$
Вася — Васильев	$+2$
Серёжа — Сергеев	$+2$
Вместе	$+6$

Восстанавливаем равновесие

Полные суммы должны совпасть. Значит, в четвёртой паре перевес обязан быть обратным: Михайлов сделал на $6$ спусков больше Миши. Иначе общие суммы различались бы.

Ответ

Михайлов скатился на $6$ раз больше Миши.

Главная идея

Сумма не меняется, если одних и тех же людей перечислить по-разному.

Как заметить эту идею в другой задаче

В задаче есть два перечня одних объектов и известны почти все попарные разности. Сначала сравните суммы перечней.

Возможная ошибка

Нельзя считать Петю и Петрова одним человеком: тогда условие «на два раза больше» стало бы невозможным. Но и угадывать соответствие всех имён фамилиям не требуется.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 10 · задача 1 ↗

Бельчонок · 2023/24 · математика · 5 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 18 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Счёт и величины →

Тема, знания и приёмы

Счёт и величины · Начальный вход

Сложение и вычитание натуральных чисел

Приёмы решения: Баланс сохраняемой величины

Задать вопрос по задаче →