Бельчонок 2023/24 · Математика · 5 кл., №4 — решение · финал

Условие

Аня, Боря и Ваня сосчитали, сколько у них карандашей.

Аня сказала: $1$ ) У меня $8$ карандашей. $2$ ) У меня на $2$ карандаша меньше, чем у Бори. $3$ ) У меня на один карандаш больше, чем у Вани.

Боря сказал: $1$ ) Число карандашей у Вани и меня отличается на $3$ $2$ ) Не у меня карандашей меньше всех. $3$ ) У Вани $11$ карандашей.

Ваня сказал: $1$ ) У меня карандашей меньше, чем у Ани. $2$ ) У Бори карандашей на $3$ больше, чем у Ани. $3$ ) У Ани $9$ карандашей.

Каждый два раза сказал правду и один раз солгал. Сколько карандашей у каждого из них?

О задаче · 5 класс · 20 баллов

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 5 класс
Сезон / этап: 2023/24 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 4

Официальные баллы20 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 5 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Начните с последней фразы Вани. Проверьте отдельно случай, когда у Ани не $9$ карандашей.

Подсказка 2

Если последняя фраза Вани ложна, две первые верны. Тогда у Бори на $3$ а не на $2$ карандаша больше, чем у Ани.

Разобрать решение по шагам

Проверяем возможность: у Ани не девять

Тогда третья фраза Вани ложна, а две первые верны: у Вани меньше, чем у Ани, и у Бори на $3$ больше, чем у Ани. Поэтому вторая фраза Ани («на $2$ меньше») ложна.

Этот случай приводит к двум ошибкам Бори

У Ани две остальные фразы должны быть верны. Значит, у неё $8$ карандашей, у Вани $7$ у Бори $11$ Но тогда первая фраза Бори ложна: разность $11-7=4$ не $3$ Третья тоже ложна: у Вани не $11$ Получились две неправды, хотя разрешена одна. Этот случай невозможен.

Следовательно, у Ани девять

Теперь её первая фраза ложна, а вторая и третья верны. Поэтому у Бори $9+2=11$ карандашей, у Вани $9-1=8$

Проверяем все девять фраз

У каждого действительно две правды и одна неправда. Это проверяет и найденные числа, и условия задачи.

Кто	Фраза 1	Фраза 2	Фраза 3
Аня	Ложь: $9\ne8$	Правда: $11-9=2$	Правда: $9-8=1$
Боря	Правда: $11-8=3$	Правда: $11$ не минимум	Ложь: $8\ne11$
Ваня	Правда: $8<9$	Ложь: $11-9\ne3$	Правда: $9=9$

Ответ

У Ани $9$ у Бори $11$ у Вани $8$ карандашей.

Главная идея

Одна ложная фраза заставляет остальные две быть истинными. Так предположение распространяется по всей системе.

Как заметить эту идею в другой задаче

Когда у каждого героя известно число истинных утверждений, начинайте с фразы, истинность которой сильно ограничивает другие.

Возможная ошибка

Недостаточно проверить только фразы Ани. Даже подходящие ей числа могут давать Боре две неправды. Проверяются все участники.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 10 · задача 4 ↗

Бельчонок · 2023/24 · математика · 5 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 19, 20 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Высказывания и логические выводы →

Тема, знания и приёмы

Высказывания и логические выводы · Начальный вход

Сравнение натуральных чисел
Истинное и ложное утверждение

Приёмы решения: Разбор случаев · Логический вывод и исключение вариантов

Задать вопрос по задаче →