Задача 5. Строка и её прореживания

Где стоят цифры строки $S_k$

Строка $S_k$ составлена из цифр строки $S$, стоящих на местах $k$, $2k$, $3k$, … Значит, её цифра номер $j$ — это цифра строки $S$ на месте

Например, $3$-я цифра строки $S_7$ — это $21$-я цифра строки $S$, а $2$-я цифра строки $S_{14}$ — это $28$-я цифра строки $S$.

Каждая вторая цифра строки $S_7$

Выпишем из строки $S_7$ её $2$-ю, $4$-ю, $6$-ю, … цифры. Цифра номер $2j$ строки $S_7$ стоит в $S$ на месте $7\cdot 2j = 14j$. Значит, выписанные цифры — это цифры строки $S$ на местах $14$, $28$, $42$, …, то есть строка $S_{14}$.

Так же каждая вторая цифра строки $S_n$ стоит в $S$ на месте $n\cdot 2j = 2n\cdot j$, и из $S_n$ получается строка $S_{2n}$. Коротко: если из строки $S_a$ выписать каждую $b$-ю цифру, получится строка $S_{ab}$.

Что следовало бы из $S_n = S_7$

Пусть при некотором $n > 7$ строки $S_n$ и $S_7$ совпадают. Совпадение бесконечных строк означает, что у них одинаковы цифры с любым номером, в частности со вторым, четвёртым, шестым, … Значит, совпадают и строки, составленные из этих цифр:

Противоречие с условием

Так как $n > 7$, то $2n > 14$, и оба номера больше $7$: $2n > 14 > 7$. По условию строки $S_{2n}$ и $S_{14}$ с такими номерами совпадать не могут. Полученное противоречие показывает, что $S_n$ ни при каком $n > 7$ не совпадает с $S_7$.

Рассуждение не зависит от того, какие цифры стоят в строке, поэтому верно для любой строки $S$. Ответ: нет, не может.

Второй вариант

Рассуждение то же, меняются только номера. Цифра номер $2j$ строки $P_{13}$ стоит в $P$ на месте $13\cdot 2j = 26j$, а цифра номер $2j$ строки $P_s$ — на месте $2s\cdot j$. Поэтому каждая вторая цифра строки $P_{13}$ образует строку $P_{26}$, а каждая вторая цифра строки $P_s$ — строку $P_{2s}$.

Если бы $P_s = P_{13}$ при некотором $s > 13$, то совпали бы и их цифры с чётными номерами, то есть $P_{2s} = P_{26}$. Но $2s > 26 > 13$, и по условию такие строки различны. Противоречие, поэтому ответ: нет.