Математика · 7 класс · Олимпиада СПб 2025/26 · районный тур

Задача 1. Квадрат на 88 кусков

Условие

Можно ли разрезать квадрат 10×1010\times 10 по клеточкам на 8888 прямоугольников так, чтобы из каких-то пяти из них удалось составить прямоугольник 3×63\times 6? (Прямоугольники при этом можно поворачивать.) Не забудьте обосновать ответ.

Второй вариант этой задачи

На олимпиаде соседи по парте получают разные варианты. Условие второго варианта:

Можно ли разрезать прямоугольник 10×1110\times 11 по клеточкам на 9292 прямоугольника так, чтобы из каких-то шести из них удалось составить квадрат 5×55\times 5? (Прямоугольники при этом можно поворачивать.) Не забудьте обосновать ответ.

Его решение и ответ — в последнем шаге разбора.

О задаче · 7 класс
Олимпиада
Санкт-Петербургская олимпиада школьников по математике, 92-я (2026)
Этап
I тур (районный)
Предмет / класс
Математика · 7 класс
Дата
15 ноября 2025 г.

Попробуй разрезать сам. В модели «Разрежь доску сам» вырезай прямоугольники по линиям сетки, выбери пять кусков — модель попробует сложить из них прямоугольник 3×63\times 6, поворачивая куски, — и следи, сколько всего кусков получилось. Удаётся ли дойти до 8888? Следи, что помогает и что мешает.

Ответ — «можно» или «нельзя» с обоснованием.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеРазрежь доску сам

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Разрежь доску сам

Режь доску на прямоугольники по линиям сетки и выбери несколько кусков — модель попробует сложить из них нужную фигуру и посчитает куски. Получится ли столько кусков, сколько требует условие?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Нарисуй квадрат 10 × 10 на клетчатой бумаге, выдели пять кусков, из которых складывается прямоугольник 3 × 6, разрежь остальное как можно мельче и посчитай куски. Сравни с 88.

Подсказка 1

Перебирать разрезания не нужно. Сравни два числа: сколько кусков требуется и сколько клеток в квадрате. Что точно известно про пять кусков, из которых сложен прямоугольник 3×63\times 6?

Подсказка 2

Пять кусков, из которых сложен прямоугольник 3×63\times 6, вместе занимают ровно 3⋅6=183\cdot 6 = 18 клеток. Посчитай, сколько клеток достаётся всем остальным кускам и сколько этих кусков должно быть. Учти, что каждый кусок — хотя бы одна клетка.

Разобрать решение по шагам
1

Что требуется

Квадрат 10×1010\times 10 состоит из 100100 клеток. Резать можно только по линиям сетки, поэтому каждый прямоугольник состоит из целых клеток — хотя бы из одной.

Нужно 8888 прямоугольников, и среди них должны найтись пять, из которых складывается прямоугольник 3×63\times 6. Кусков меньше, чем клеток, так что на первый взгляд места хватает. Посмотрим, что меняет условие про пять кусков.

2

Сколько клеток у пяти кусков

Если из пяти кусков сложили прямоугольник 3×63\times 6 без дыр и наложений, то вместе они занимают столько же клеток, сколько этот прямоугольник: когда куски перекладывают и поворачивают, клеток в них не становится ни больше, ни меньше. Значит, у этих пяти кусков вместе

3⋅6=18 клеток.3\cdot 6 = 18 \text{ клеток}.

Например, это могут быть два куска 3×23\times 2 и три куска 1×21\times 2: 6+6+2+2+2=186 + 6 + 2 + 2 + 2 = 18. Но какими бы ни были эти пять кусков, клеток у них ровно 1818.

пять кусков3×23×22×11×21×26 + 6 + 2 + 2 + 2 = 18 клетокпрямоугольник 3×63 · 6 = 18 клеток
Пять кусков, разложенных отдельно, и они же, сложенные в прямоугольник 3×63\times 6: клеток у них вместе ровно 1818.
3

Сколько клеток остаётся остальным

Остальных кусков

88−5=83.88 - 5 = 83.

Им достаются все клетки квадрата, кроме тех 1818:

100−18=82 клетки.100 - 18 = 82 \text{ клетки}.

Но каждому из 8383 кусков нужна хотя бы одна своя клетка, то есть всего хотя бы 8383 клетки, а есть только 8282. Противоречие. Значит, так разрезать квадрат нельзя.

клетки квадрата: 100конец квадрата1882пятёркаостальным кускам83 куска — хотя бы по клетке83 клетки?не хватает одной клетки
Из 100100 клеток квадрата 1818 занимает пятёрка, остальным кускам остаётся 8282. Остальным 8383 кускам нужно хотя бы по клетке — одной клетки не хватает.
4

Не хватает ровно одного куска

Тот же подсчёт показывает, сколько кусков можно получить. Если пять кусков складываются в 3×63\times 6, то остальных кусков не больше 8282, а всего не больше

82+5=87.82 + 5 = 87.

И 8787 кусков получить можно: вырежем в углу квадрата блок 3×63\times 6, разрежем его на два куска 3×23\times 2 и три куска 1×21\times 2, а остальные 8282 клетки разрежем по одной. Так что до 8888 не хватает ровно одного куска — и взять его неоткуда.

5 кусков складываются в 3×6+ 82 клетки по одной= 87 кусков
Разрезание на 8787 кусков: блок 3×63\times 6 в углу — пять кусков, остальные 8282 клетки — по одной.
5

Второй вариант

Рассуждение то же, меняются только числа. Прямоугольник 10×1110\times 11 — это 110110 клеток. Шесть кусков, из которых сложен квадрат 5×55\times 5, вместе занимают

5⋅5=25 клеток.5\cdot 5 = 25 \text{ клеток}.

Остальных кусков 92−6=8692 - 6 = 86, а клеток для них остаётся 110−25=85110 - 25 = 85. Каждому куску нужна хотя бы одна клетка, а 85<8685 < 86, — значит, так разрезать нельзя.

Самое большее здесь получается 6+85=916 + 85 = 91 кусок. Например, в углу вырежем квадрат 5×55\times 5 и разрежем его на два куска 5×25\times 2 и столбик 5×15\times 1, поделённый на куски из 11, 22, 11 и 11 клетки, а остальные 8585 клеток — по одной.

В 8 классе второй вариант тот же, без фразы «Не забудьте обосновать ответ».

Проверка

Проверим счёт: кусков 5+83=885 + 83 = 88, клеток 18+82=10018 + 82 = 100, и 82<8382 < 83 — клеток на всех не хватает. Пример на 8787 кусков проверен клетка за клеткой: два куска 3×23\times 2 и три куска 1×21\times 2 занимают блок 3×63\times 6, остальные 8282 клетки — отдельные куски, всего 5+82=875 + 82 = 87. Компьютер перебрал все разрезания маленьких досок 3×43\times 4, 4×44\times 4 и 4×54\times 5 для таких же задач с меньшими числами: наибольшее число кусков всегда совпадало с тем, что даёт этот подсчёт клеток. Та же задача была в 8 классе (задача 1) — без фразы «Не забудьте обосновать ответ»; ответ и обоснование те же.

Ответ

1 вариант. Нельзя: пять кусков, из которых сложен прямоугольник 3×63\times 6, занимают 1818 клеток, и остальным 8383 кускам осталось бы только 100−18=82100 - 18 = 82 клетки, а каждому куску нужна хотя бы одна.

2 вариант. Нельзя: шесть кусков, из которых сложен квадрат 5×55\times 5, занимают 2525 клеток, и остальным 8686 кускам осталось бы только 110−25=85110 - 25 = 85 клеток.

Ответ

1 вариант. Нельзя: пять кусков, из которых сложен прямоугольник 3×63\times 6, занимают 1818 клеток, и остальным 8383 кускам осталось бы только 100−18=82100 - 18 = 82 клетки, а каждому куску нужна хотя бы одна.

2 вариант. Нельзя: шесть кусков, из которых сложен квадрат 5×55\times 5, занимают 2525 клеток, и остальным 8686 кускам осталось бы только 110−25=85110 - 25 = 85 клеток.

Главная идея

При перекладывании кусков число клеток не меняется: пять кусков, сложенных в 3×63\times 6, занимают ровно 1818 клеток. Остальным кускам остаётся 8282 клетки, а каждому куску нужна хотя бы одна, — значит, всего кусков не больше 8787.

Признаки: разрезание по клеточкам на заданное число кусков и условие на часть кусков (из них что-то складывается). Посчитай клетки: куски, из которых что-то сложено, занимают столько клеток, сколько получившаяся фигура, а каждому остальному куску нужна хотя бы одна клетка. Потом сравни число кусков с числом клеток.

Где легко ошибиться

Сравнить только 8888 и 100100 («клеток больше, чем кусков, значит, можно») и забыть, что пять кусков вместе занимают целых 1818 клеток. Другая ошибка — долго искать пример, не найти его и ответить «нельзя» без доказательства.

Источник и авторство

Санкт-Петербургская олимпиада школьников по математике · 92-я олимпиада (2026 год) · I тур (районный), 15 ноября 2025 г. · 7 класс, задача 1. Та же задача была в 8 классе (задача 1); разбор общий. Листки 7 и 8 классов этого тура озаглавлены также «Районный этап Всероссийской олимпиады школьников».

Условия (PDF организатора, первый вариант) ↗ · Листки олимпиады, оба варианта (ZIP организатора) ↗ · Страница олимпиады 2026 года ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие первого варианта — из файла организатора, второй вариант переписан с листка. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Организатор не публикует решений районного тура. Ответы обоих вариантов получены двумя независимыми решениями и совпали; где можно, проверены перебором или вычислением.

На сайте олимпиады: «Распространение представленных материалов разрешается и приветствуется.»

Продолжить тему: Преобразования и разбиения →
Тема, знания и приёмы

Преобразования и разбиения · Нужна школьная база

  • Площадь прямоугольника в клетках: a· b
  • Когда куски перекладывают и поворачивают, их общая площадь не меняется

Приёмы решения: Баланс сохраняемой величины · Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →
Увеличенный рисунок