Математика · 8 класс · районный тур

Можно ли разрезать квадрат $10\times 10$ по клеточкам на 88 прямоугольников так, чтобы из каких-то пяти из них удалось составить прямоугольник $3\times 6$? (Прямоугольники при этом можно поворачивать.)

На доске написаны три положительных числа. Произведение первого и второго числа отличается от среднего арифметического их квадратов на $1/2$. Произведение второго и третьего числа отличается от среднего арифметического их квадратов на $2$. На сколько может отличаться произведение первого и третьего числа от среднего арифметического их квадратов? Найдите все возможные ответы и докажите, что других нет.

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ площади треугольников $ABD$ и $BCD$ равны. Известно, что $\angle ADB = 90^\circ$. Точка $M$ — середина стороны $BC$. Докажите, что $MC+CD\geq AM$.

Натуральное число $m$ называется особым, если существует такой набор из 80 последовательных натуральных чисел, что среди них есть число $m$, а каждое из остальных чисел этого набора взаимно просто с $m$. Какой наибольший НОД может быть у двух различных особых чисел, не превосходящих 1900?

Пусть $S$ — бесконечная строка из цифр. Для натурального $k$ обозначим через $S_k$ бесконечную строку, получаемую из исходной строки выписыванием её $k$-й, $2k$-й, $3k$-й, $4k$-й, … цифр. Известно, что при любых натуральных $n>m>7$ строки $S_n$ и $S_m$ не совпадают. Может ли оказаться, что при некотором $n>7$ строка $S_n$ совпадает со строкой $S_7$?