Задача 2. Три числа на доске

Переведём условие на понятный язык

В условии сравниваются две величины: произведение двух чисел и среднее арифметическое их квадратов. Чтобы понять, когда они отличаются на $\frac12$ или на $2$, вычтем одно из другого для любых двух чисел $p$ и $q$ и приведём к общему знаменателю:

В числителе получился квадрат разности: $(p-q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$. Квадрат не бывает отрицательным, поэтому среднее арифметическое квадратов никогда не меньше произведения, и «отличается на» — это ровно $\dfrac{(p-q)^2}{2}$.

Главное: эта разница зависит не от самих чисел, а только от того, на сколько они отличаются друг от друга. Например, у пар $1$ и $2$, $5$ и $6$, $10$ и $11$ она одна и та же — $\frac12$.

Что говорят условия

Обозначим числа на доске $x$, $y$, $z$ — первое, второе и третье. Первое условие:

Квадрат равен $1$ только у чисел $1$ и $-1$, поэтому $x - y = 1$ или $x - y = -1$. Другими словами, на числовой прямой первое число стоит на расстоянии $1$ от второго — справа или слева.

Второе условие: $\dfrac{(y-z)^2}{2} = 2$, то есть $(y-z)^2 = 4$, и $y - z = 2$ или $y - z = -2$: третье число стоит на расстоянии $2$ от второго.

А спрашивают про $\dfrac{(x-z)^2}{2}$ — значит, нужно узнать, каким может быть расстояние между первым и третьим числом.

Два случая расположения

Отметим второе число $y$ на прямой. Первое стоит на расстоянии $1$ от него, третье — на расстоянии $2$.

• Если первое и третье числа по одну сторону от второго, между ними $2 - 1 = 1$.

• Если по разные стороны, между ними $1 + 2 = 3$.

То же самое без рисунка: $x - z = (x - y) + (y - z)$, а это одна из сумм $1 + 2 = 3$, $1 - 2 = -1$, $-1 + 2 = 1$, $-1 - 2 = -3$. Значит, $(x-z)^2$ равно $1$ или $9$, и

Других значений быть не может.

Оба ответа действительно бывают

Осталось показать, что каждое из двух значений получается у каких-то положительных чисел.

• Числа $3$, $2$, $4$ — первое и третье по одну сторону от второго. Произведение первого и второго $3\cdot 2 = 6$, среднее арифметическое квадратов $\frac{9+4}{2} = 6{,}5$ — отличаются на $\frac12$. Второе и третье: $2\cdot 4 = 8$ и $\frac{4+16}{2} = 10$ — на $2$. Первое и третье: $3\cdot 4 = 12$ и $\frac{9+16}{2} = 12{,}5$ — на $\frac12$.

• Числа $1$, $2$, $4$ — по разные стороны. Первое и второе: $1\cdot 2 = 2$ и $\frac{1+4}{2} = 2{,}5$ — на $\frac12$. Второе и третье — те же $8$ и $10$, на $2$. Первое и третье: $1\cdot 4 = 4$ и $\frac{1+16}{2} = 8{,}5$ — на $4{,}5 = \frac92$.

Положительность чисел в рассуждении шагов 1–3 не понадобилась: она лишь требует, чтобы примеры были из положительных чисел, а такие нашлись. Ответ: $\frac12$ или $\frac92$.

Второй вариант

Меняется только первое число условия: $4{,}5$ вместо $\frac12$. Шаг 1 тот же, поэтому

а $y - z = 2$ или $y - z = -2$, как и раньше. Первое число стоит на расстоянии $3$ от второго, третье — на расстоянии $2$. По одну сторону от второго между ними $3 - 2 = 1$, по разные — $3 + 2 = 5$: действительно, $x - z = (x-y) + (y-z) \in \{5, 1, -1, -5\}$. Поэтому

Оба значения бывают. Числа $1$; $4$; $2$: $1\cdot 4 = 4$ и $\frac{1+16}{2} = 8{,}5$ — на $4{,}5$; $4\cdot 2 = 8$ и $\frac{16+4}{2} = 10$ — на $2$; $1\cdot 2 = 2$ и $\frac{1+4}{2} = 2{,}5$ — на $\frac12$. Числа $1$; $4$; $6$: первая пара та же; $4\cdot 6 = 24$ и $\frac{16+36}{2} = 26$ — на $2$; $1\cdot 6 = 6$ и $\frac{1+36}{2} = 18{,}5$ — на $12{,}5 = \frac{25}{2}$. Заметь: здесь «по одну сторону» даёт тот же ответ $\frac12$, что и в первом варианте.