Математика · 7 класс · районный тур

Можно ли разрезать квадрат $10\times 10$ по клеточкам на $88$ прямоугольников так, чтобы из каких-то пяти из них удалось составить прямоугольник $3\times 6$? (Прямоугольники при этом можно поворачивать.) Не забудьте обосновать ответ.

Филле, Рулле и Оскар взяли из ящика несколько конфет (в ящике ещё остались конфеты), причём у Оскара оказалось конфет больше, чем у Филле и Рулле вместе. Тогда Филле взял половину конфет, оставшихся в ящике. А Рулле забрал треть конфет Оскара. И оказалось, что у Оскара конфет стало в три раза меньше, чем у Филле и Рулле вместе. Докажите, что изначально эти трое взяли не более $60\%$ находившихся в ящике конфет.

Петя разделил число $N$ с остатком на 31, 32, 33, 34 и получил остатки 1, 4, 7, 10 в некотором порядке. Вася разделил то же самое число $N$ на 85, 86, 87, 88 и получил остатки 1, 2, 5, 8 в некотором порядке. Докажите, что кто-то из них ошибся.

На круговом шоссе расположено $15$ столбов. Антон посчитал длины всех кратчайших путей между ними (по шоссе) и обнаружил, что все они различны и каждое из них составляет целое число километров. Докажите, что длина шоссе

а) не меньше $210$ км;

б) больше $210$ км.