Задача 2. Конфеты из ящика

Одна мерка — часть

Рулле забрал треть конфет Оскара — значит, конфеты Оскара делятся на три равные части. Обозначим одну такую часть буквой $x$: сначала у Оскара $3x$ конфет. Пусть Филле и Рулле вместе сначала взяли $S$ конфет. По условию у Оскара больше:

Мерить всё частями удобно потому, что почти все действия в истории — это части: треть, половина, «в три раза».

Что было в конце

Рулле забрал у Оскара одну часть, и у Оскара осталось $2x$. В конце у Филле и Рулле вместе в три раза больше:

Значит, в конце у троих в руках

Откуда в руках новые конфеты

Сначала у троих в руках было $3x + S$ конфет. Когда Рулле забрал конфеты у Оскара, они просто перешли из одних рук в другие — у троих вместе их не прибавилось. Прибавилась только половина ящика, которую взял Филле. Поэтому половина ящика —

а в ящике, после того как трое взяли свои конфеты, оставалось

Сравниваем с 60 %

Всего в ящике сначала было

а трое взяли $3x + S$. $60\%$ — это $\frac35$. Взятое не больше $\frac35$ всех конфет, когда

Раскроем скобки: $15x + 5S \le 39x - 3S$. Перенесём: $8S \le 24x$, то есть

Каждый переход можно пройти и в обратную сторону: из $S \le 3x$ получается $8S \le 24x$, затем $15x + 5S \le 39x - 3S$ и само неравенство. А $3x$ — это все конфеты Оскара, и по условию Филле и Рулле вместе взяли меньше: $S < 3x$. Значит, трое взяли даже меньше $60\%$ конфет — и тем более не более $60\%$.

Почему граница — именно 60 %

Ровно $60\%$ получилось бы при $S = 3x$ — если бы Филле и Рулле взяли вместе столько же, сколько Оскар, а это запрещено. Но подойти к $60\%$ можно сколь угодно близко. Пусть Оскар взял $3k$ конфет, Филле и Рулле вместе — на одну меньше, $3k - 1$, а в ящике осталось $4k + 2$. История сходится: Филле берёт $2k + 1$, Рулле забирает $k$, у Оскара остаётся $2k$, а у Филле и Рулле становится $(3k - 1) + (2k + 1) + k = 6k = 3\cdot 2k$. Трое взяли $6k - 1$ конфет из $10k + 1$, и до $60\%$ не хватает

Чем больше $k$, тем меньше эта разница — её можно сделать меньше любого заданного числа. Например, при $k = 10$ (Филле $10$, Рулле $19$, Оскар $30$, в ящике $42$) доля $\frac{59}{101}\approx 58{,}4\%$, а при $k = 100$ — уже $\frac{599}{1001}\approx 59{,}8\%$.

Второй вариант

Рассуждение то же, меняются доли. Алиса украла половину монеток Дуремара, поэтому за одну часть $x$ возьмём половину его монеток: сначала у Дуремара $2x$, у Алисы и Базилио вместе $S$, и $S < 2x$.

В конце у Дуремара $x$, а у Алисы и Базилио вместе в $4$ раза больше — $4x$; в руках у троих $5x$. Кража Алисы только перекладывает монетки из рук в руки, а к рукам прибавилась только треть монеток под деревом, которую выкопал Базилио:

Значит, под деревом оставалось $3\cdot(3x - S) = 9x - 3S$ монеток, а всего было

Взятое не больше $\frac47$ всех монеток, когда

Раскроем скобки: $14x + 7S \le 44x - 8S$. Перенесём: $15S \le 30x$, то есть $S \le 2x$. Каждый переход можно пройти и в обратную сторону (мы прибавляем к обеим частям одно и то же и умножаем или делим на положительное число), поэтому из $S \le 2x$ получается нужное неравенство. А $S < 2x$ дано: Дуремар взял больше, чем Алиса и Базилио вместе. Значит, трое взяли даже меньше $\frac47$ монеток.

Отличия от первого варианта: из-под дерева выкапывают треть (а не половину), у Дуремара забирают половину (а не треть), в конце «в $4$ раза больше», граница $\frac47$ вместо $60\%$. Граница $\frac47$ тоже точная: ровно $\frac47$ было бы при запрещённом $S = 2x$, а подойти можно сколь угодно близко. Пусть Дуремар взял $2k$ монеток, Алиса и Базилио вместе $2k - 1$, а под деревом осталось $3k + 3$. История сходится: Базилио выкапывает $k + 1$, Алиса крадёт $k$, у Дуремара остаётся $k$, у Алисы и Базилио становится $(2k - 1) + (k + 1) + k = 4k$. Трое взяли $4k - 1$ из $7k + 2$, и до $\frac47$ не хватает

Например, при $k = 15$ (Алиса $10$, Базилио $19$, Дуремар $30$, под деревом $48$) доля $\frac{59}{107}\approx 55{,}1\%$.