Олимпиада СПб 2025 · Математика · 6 кл., №4

Условие

В парадной жилого дома сто квартир. На первом этаже расположены квартиры с номерами $1$ $2$ $3$ $4$ на втором — $5$ $6$ $7$ $8$ и т. д. Назовём две квартиры соседними, если они находятся на одном этаже или если их номера отличаются на $4$ (в этом случае одна располагается над другой).

В каждой квартире живёт один человек, при этом у каждого жильца в соседних квартирах есть хотя бы два его однофамильца. Какое наибольшее число разных фамилий может быть у жителей парадной?

Второй вариант этой задачи

На олимпиаде соседи по парте получают разные варианты. Условие второго варианта:

В подъезде жилого дома двести квартир. На первом этаже расположены квартиры с номерами $1$ $2$ $3$ $4$ на втором — $5$ $6$ $7$ $8$ и т. д. Назовём две квартиры соседними, если они находятся на одном этаже или если их номера отличаются на $4$ (в этом случае одна располагается над другой).

В каждой квартире живёт один человек, при этом у каждого жильца в соседних квартирах живут хотя бы двое его тёзок (то есть людей с тем же именем). Какое наибольшее число разных имён может быть у жителей подъезда?

Его решение и ответ — в последнем шаге разбора.

О задаче · 6 класс

Олимпиада: Санкт-Петербургская олимпиада школьников по математике, 92-я (2026)
Этап: I тур (районный)
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Дата: 15 ноября 2025 г.

Сначала попробуй на маленьком доме. В модели «Засели дом сам» возьми, например, $5$ этажей и рассели жильцов так, чтобы у каждого среди соседей было хотя бы два однофамильца. Сколько разных фамилий у тебя получилось — и можно ли больше в том же доме? Модель покажет, у кого из жильцов однофамильцев рядом меньше двух. Поле ниже проверяет число для первого варианта (условие выше).

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеЗасели дом сам

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Засели дом сам

Выбери высоту дома и заселяй окна: номер на рубашке — номер семьи. Модель для каждого жильца посчитает однофамильцев среди соседей и скажет, все ли довольны. Сколько разных фамилий у тебя получится?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Нарисуй дом из 5 этажей по 4 квартиры, впиши в квартиры фамилии и проверь у каждого жильца: среди соседей по этажу и квартир прямо над и под ним должно быть хотя бы два однофамильца. Сколько разных фамилий получилось?

Подсказка 1

Простая оценка «на каждую фамилию нужно хотя бы три человека» даёт $33$ фамилии, но пример с $33$ не складывается. Чтобы понять, что мешает, посмотри на жильца, над которым однофамильца нет. Где тогда должны жить два его однофамильца?

Подсказка 2

Для каждой фамилии найди её верхний этаж — самый высокий этаж, где живёт кто-то с этой фамилией. Сколько квартир на нём занимает эта фамилия? Для скольких фамилий один и тот же этаж может быть верхним — и что тогда можно сказать про этаж под ним?

Разобрать решение по шагам

Кто чей сосед

Сто квартир по четыре на этаже — это $25$ этажей. У квартиры не больше пяти соседей: три другие квартиры её этажа, квартира прямо над ней (номер на $4$ больше) и квартира прямо под ней (номер на $4$ меньше). У квартир первого этажа нет соседа снизу, у квартир $25$ -го этажа — соседа сверху.

В задаче на «наибольшее число» нужны две вещи: пример с каким-то числом фамилий и доказательство, что больше нельзя.

Пример: на каждом этаже одна фамилия

Пусть на первом этаже живут четверо Ивановых, на втором — четверо Петровых и так далее: у каждого этажа своя фамилия. У каждого жильца на его этаже трое однофамильцев — больше двух, условие выполнено. Фамилий столько же, сколько этажей, — $25$

Хочется сделать больше: например, поселить на этаже троих с одной фамилией — у каждого из них как раз два однофамильца рядом. Но четвёртый жилец этого этажа остаётся один: на его этаже однофамильцев нет, и оба нужных однофамильца должны жить прямо над ним и прямо под ним. Его фамилия «тянется» по этажам вверх и вниз. Чтобы понять, сколько фамилий помещается, посмотрим, где каждая фамилия кончается сверху.

Пример с

25

фамилиями: на каждом этаже одна семья (номер на рубашке — номер семьи). У каждого жильца на этаже трое однофамильцев.

Верхний этаж фамилии

Для каждой фамилии назовём её верхним этажом самый высокий этаж, где живёт кто-нибудь с этой фамилией.

Возьмём жильца на верхнем этаже его фамилии. Над ним однофамильца нет — этаж ведь верхний. Под ним живёт не больше одного человека (на первом этаже — никто), так что снизу однофамилец не больше чем один. А однофамильцев рядом нужно хотя бы два. Значит, ещё хотя бы один его однофамилец живёт на том же этаже.

Вывод: на своём верхнем этаже каждая фамилия занимает хотя бы две квартиры.

Жилец Иванов (И) на верхнем этаже Ивановых: над ним однофамильца нет, под ним — не больше одного. Значит, второй Иванов живёт на том же этаже.

Сколько фамилий кончается на одном этаже

На этаже четыре квартиры, а каждой фамилии, для которой этот этаж верхний, нужно на нём хотя бы две. Поэтому этаж может быть верхним самое большее для двух фамилий.

Пусть этаж верхний сразу для двух фамилий — скажем, для Ивановых и Петровых. Тогда на нём ровно по две квартиры у каждой из них. У каждого из этих четверых на этаже ровно один однофамилец, а сверху никого. Значит, второй однофамилец живёт прямо под ним. Поэтому этот этаж не первый, а этаж под ним целиком занят Ивановыми и Петровыми. Но их верхний этаж — тот, что выше. Значит, для этажа под ним ни одна фамилия не верхняя.

Этаж — верхний сразу для Ивановых и Петровых: у каждого из четверых второй однофамилец живёт прямо под ним. Этаж ниже целиком занят ими же, и для него ни одна фамилия не верхняя.

Считаем фамилии

У каждой фамилии ровно один верхний этаж, поэтому фамилий столько, сколько всего раз этажи бывают верхними. Объединим в пару каждый этаж, верхний для двух фамилий, с этажом под ним. Один этаж не попадёт в две пары: верхний этаж пары — верхний для двух фамилий, нижний — ни для одной.

На паре этажей вместе кончаются ровно две фамилии — столько же, сколько этажей в паре.

На каждом этаже вне пар кончается не больше одной фамилии.

Значит, фамилий не больше, чем этажей, то есть не больше $25$ Пример из шага 2 даёт ровно $25$

Второй вариант

Двести квартир по четыре на этаже — это $50$ этажей; вместо фамилий — имена, вместо однофамильцев — тёзки. Рассуждение то же.

Пример. На каждом этаже живут четверо тёзок, у разных этажей разные имена: у каждого жильца трое тёзок на этаже, имён $50$

Оценка. Верхний этаж имени — самый высокий этаж, где живёт кто-то с этим именем. На нём у имени хотя бы две квартиры: сверху тёзки нет, снизу не больше одного. Поэтому этаж бывает верхним не больше чем для двух имён. Если для двух, то на нём ровно по две квартиры у каждого из этих имён: у каждого из четверых на этаже один тёзка, сверху — ни одного, значит, второй живёт прямо под ним (этаж не первый). Этаж ниже целиком занят этими же именами и не верхний ни для одного.

Объединим каждый этаж, верхний для двух имён, в пару с этажом под ним. Пары не пересекаются: верхний этаж пары — верхний для двух имён, нижний — ни для одного. На паре этажей вместе кончаются ровно два имени, на каждом остальном этаже — не больше одного. Поэтому имён не больше, чем этажей, то есть не больше $50$

Проверка

Пример проверен напрямую: у каждого жильца трое однофамильцев на этаже, фамилий $25$ Есть и другой пример с $25$ фамилиями: квадраты $2\times2$ на парах этажей $1$ – $2$ $3$ – $4$ …, $23$ – $24$ (по две семьи на пару) и целый $25$ -й этаж — у каждого жильца квадрата один однофамилец на этаже и один над или под ним. Оценка проверена компьютером. Для домов из $1$ – $8$ этажей перебраны все расстановки фамилий без каких-либо допущений: наибольшее число фамилий всегда равно числу этажей. Расчёт по этажам (динамика) даёт $25$ для $100$ квартир и $50$ для $200$ Факты шагов 3–4 проверены на всех $398$ правильных расстановках в домах из $1$ – $4$ этажей.

Ответ

1 вариант. $25$ фамилий.

2 вариант. $50$ имён.

Ответ

1 вариант. $25$ фамилий.

2 вариант. $50$ имён.

Главная идея

Смотри на верхний этаж каждой фамилии: там она занимает хотя бы две квартиры. Поэтому этаж бывает верхним не больше чем для двух фамилий, а если для двух — этаж под ним целиком занят ими и не верхний ни для одной. Значит, фамилий не больше, чем этажей, а пример «на этаже одна фамилия» даёт ровно столько.

Признаки: найти наибольшее число групп, и у каждого участника должны быть «свои» среди соседей. Простая оценка по размеру группы (здесь «хотя бы трое») часто завышена. Помогает крайний участник группы — самый верхний, самый левый, первый: у него «своих» соседей может быть меньше, и это даёт ограничение сильнее. Сопоставь каждой группе её крайнее место и посчитай, сколько групп может кончаться в одном месте.

Где легко ошибиться

Ответить $33$ «на фамилию нужно хотя бы три человека, а $100:3$ — это $33$ с остатком». Трое однофамильцев действительно могут жить на одном этаже, но тогда четвёртому жильцу этого этажа однофамильцы нужны и сверху, и снизу, и пример не складывается. Другая ошибка — привести пример с $25$ фамилиями и не доказать, что больше нельзя.

Источник и авторство

Санкт-Петербургская олимпиада школьников по математике · 92-я олимпиада (2026 год) · I тур (районный), 15 ноября 2025 г. · 6 класс, задача 4.

Условия (PDF организатора, первый вариант) ↗ · Листки олимпиады, оба варианта (ZIP организатора) ↗ · Страница олимпиады 2026 года ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие первого варианта — из файла организатора, второй вариант переписан с листка. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Организатор не публикует решений районного тура. Ответы обоих вариантов получены двумя независимыми решениями и совпали; где можно, проверены перебором или вычислением.

На сайте олимпиады: «Распространение представленных материалов разрешается и приветствуется.»

Продолжить тему: Графы →

Тема, знания и приёмы

Графы · Продвинутая подготовка

Задачи «оценка и пример»
Квартиры по четыре на этаже: номер на 4 больше — этажом выше

Приёмы решения: Оценка и достижимость · Граф и степени вершин · Последовательный подсчёт без повторов

Задать вопрос по задаче →