Задача 3. Цифры по кругу

Что нужно доказать

Простое число — это число, у которого ровно два делителя: $1$ и оно само. Чтобы доказать, что число не простое, достаточно найти у него ещё один делитель — больше $1$ и меньше самого числа.

Тая пишет многозначное число, поэтому в нём хотя бы две цифры и оно не меньше $84$. Последняя цифра числа — это цифра, у которой Тая остановилась. Значит, число оканчивается одной из семи цифр круга: $8$, $4$, $2$, $1$, $0$, $5$ или $6$.

Как догадаться смотреть на последнюю цифру: по ней сразу видно, делится ли число на $2$ и на $5$. Разберём все семь концовок.

Шесть концовок из семи

Если последняя цифра чётная — $8$, $4$, $2$, $0$ или $6$, — то всё число чётное, то есть делится на $2$. Оно больше $2$, значит, $2$ — делитель, который не равен ни $1$, ни самому числу. Например,

Если последняя цифра $5$, число делится на $5$ и больше $5$. Например, на $5$ делятся $842105$ и число $84210568421056842105$ из условия.

Во всех этих случаях число не простое. Осталась одна концовка — цифра $1$ (на рисунке у неё знак вопроса).

Ищем делитель для концовки 1

Пусть Тая остановилась на цифре $1$. До этого она прошла несколько полных кругов — по $7$ цифр $8421056$ — или ни одного, а потом ещё четыре цифры $8421$. Такие числа:

На $2$ и на $5$ они не делятся. Попробуем $3$: у числа $8421$ сумма цифр $8+4+2+1=15$, оно делится на $3$. Но у $84210568421$ сумма цифр $41$, и на $3$ оно не делится. Значит, $3$ подходит не всем таким числам.

Попробуем следующее простое число — $7$:

Оба числа делятся на $7$. Совпадение? Разберёмся, почему так получается.

Почему всегда делится на 7

Разрежем число на куски:

Каждый полный круг $8421056$ режется на куски $84$, $21$, $0$, $56$, а последние четыре цифры — на $84$ и $21$. Все эти куски делятся на $7$:

Число — это сумма его кусков, к каждому из которых приписано столько нулей, сколько цифр стоит правее него. Например,

Если к числу, которое делится на $7$, приписать нули, оно умножится на $10$, $100$, … и по-прежнему будет делиться на $7$. Значит, каждое слагаемое делится на $7$, а сумма чисел, которые делятся на $7$, тоже делится на $7$.

Так при любом числе кругов: число, которое оканчивается на $1$, делится на $7$. А само оно не меньше $8421$, то есть больше $7$, — значит, и оно не простое.

Как догадаться до таких кусков: раздели $84210568421$ на $7$ столбиком. Остаток становится нулём ровно после цифр $84$, потом после $21$, после $0$, после $56$ и так далее — эти места и есть разрезы. А частные кусков, записанные подряд, дают частное всего числа (рисунок ниже).

При записи частных подряд сохраняем длину каждого куска: частное двузначного куска тоже пишем двумя цифрами, при необходимости с нулём слева ($21:7=03$, $56:7=08$). Такой нуль не меняет частного, а сохраняет разрядные места следующих цифр.

Вывод

Где бы Тая ни остановилась, у её числа есть делитель $2$, $5$ или $7$, который больше $1$ и меньше самого числа. Поэтому простое число у Таи получиться не могло.

Ответ: нет, не могло.

Второй вариант

Рассуждение то же. Последняя цифра числа Саши — одна из цифр круга $4$, $2$, $6$, $3$, $0$, $5$. Число Саши многозначное, поэтому оно не меньше $42$. Если последняя цифра чётная ($4$, $2$, $6$ или $0$), число делится на $2$; если это $5$ — делится на $5$; в обоих случаях оно не меньше $42$, то есть больше своего делителя.

Остаётся концовка $3$. Цифра $3$ стоит на круге один раз, поэтому число на $3$ — это несколько полных кругов $4263056$ (или ни одного), а потом ещё четыре цифры $4263$: $4263$, $42630564263$, … Режем такое число на куски

Каждый полный круг $4263056$ режется на куски $42$, $63$, $0$, $56$, а последние четыре цифры — на $42$ и $63$. Все куски делятся на $7$: $42 = 7\cdot 6$, $63 = 7\cdot 9$, $0 = 7\cdot 0$, $56 = 7\cdot 8$. Как и в первом варианте, число — сумма кусков с приписанными нулями, поэтому оно делится на $7$; например, $4263 = 7\cdot 609$ и $42630564263 = 7\cdot 6090080609$. Само число не меньше $4263$, то есть больше $7$.

Значит, простое число у Саши получиться не могло. Ответ: нет.