Задача 1. Гербарий Саши

Две группы из первого условия

Обозначим, сколько у Саши листьев каждого вида: $\text{К}$ — красных кленовых, $\text{Ж}$ — жёлтых кленовых, $\text{Б}$ — берёзовых, $\text{Л}$ — липовых. Буквы здесь — просто короткие имена для чисел, которых мы пока не знаем.

Первое условие сравнивает две группы листьев:

• жёлтые — это жёлтые кленовые, берёзовые и липовые, всего $\text{Ж}+\text{Б}+\text{Л}$;

• кленовые — это красные кленовые и жёлтые кленовые, всего $\text{К}+\text{Ж}$.

Жёлтых столько же, сколько кленовых, поэтому

Посмотри на рисунок: жёлтые кленовые листья попали в обе группы — они и жёлтые, и кленовые.

Убираем общие листья

Если из двух равных чисел вычесть одно и то же, они останутся равными. Вычтем из обеих групп жёлтые кленовые листья — их $\text{Ж}$ и слева, и справа:

Получилось: красных листьев столько же, сколько берёзовых и липовых вместе. Число жёлтых кленовых из равенства исчезло — для ответа оно не понадобится.

Как до этого догадаться: когда с обеих сторон равенства стоит одно и то же слагаемое, его можно убрать — как одинаковые гирьки с обеих чаш весов.

Где спрятаны пять листьев

Теперь последнее условие: берёзовых на $5$ меньше, чем красных. Значит, красных на $5$ больше, чем берёзовых:

А по шагу 2

В обоих равенствах красные листья — это все берёзовые и ещё сколько-то (рисунок ниже). В первом равенстве это «ещё» равно $5$, во втором это липовые листья. Значит,

Весь гербарий и проверка

Берёзовых столько же, сколько липовых, то есть $\text{Б}=5$, а красных $\text{К}=\text{Б}+\text{Л}=5+5=10$. Жёлтых кленовых может быть сколько угодно (лишь бы они были): от их числа ни одно условие не зависит.

Проверим на примере $\text{К}=10$, $\text{Ж}=3$, $\text{Б}=5$, $\text{Л}=5$:

• жёлтых $3+5+5=13$, кленовых $10+3=13$ — поровну;

• берёзовых $5$ и липовых $5$ — поровну;

• красных $10$, берёзовых $5$ — берёзовых на $5$ меньше.

Все условия выполнены. Если взять другое число жёлтых кленовых, то и жёлтых, и кленовых листьев станет на столько же больше (или меньше) — их по-прежнему поровну, и проверка снова сойдётся. А липовых в любом подходящем гербарии ровно $5$ — это доказано в шаге 3.

Заметь: чтобы найти липовые листья, равенство берёзовых и липовых даже не понадобилось. Оно нужно, только чтобы узнать, сколько берёзовых и красных.

Ответ: $5$ липовых листьев.

Второй вариант

Обозначим: $\text{К}$ — красные кленовые, $\text{Ж}$ — жёлтые кленовые, $\text{Р}$ — рябиновые, $\text{О}$ — осиновые. Первое условие то же: жёлтых $\text{Ж}+\text{Р}+\text{О}$, кленовых $\text{К}+\text{Ж}$. Убираем из обеих групп общие жёлтые кленовые листья:

Осиновых на $4$ меньше, чем красных, то есть $\text{К}=\text{О}+4$. Сравниваем с $\text{К}=\text{О}+\text{Р}$ и получаем $\text{Р}=4$.

Но спрашивают про красные листья. Здесь нужно условие «осиновых столько же, сколько рябиновых»: $\text{О}=\text{Р}=4$, и

В отличие от первого варианта, без равенства осиновых и рябиновых здесь не обойтись: оно нужно, чтобы от рябиновых листьев перейти к красным.

Проверка: $\text{К}=8$, $\text{Ж}=2$, $\text{Р}=4$, $\text{О}=4$. Жёлтых $2+4+4=10$, кленовых $8+2=10$; осиновых $4$ и рябиновых $4$; $8-4=4$. При любом другом числе жёлтых кленовых красных всё равно $8$.

Ответ: $8$ красных листьев.