Задача 4. Станок и металлический лист

Что даёт лист 10 × 10

Про станок известно только одно: из листа $10\times 10$ он вырезал 10 деталей. Значит, рассуждать надо так, чтобы годилась любая такая деталь — и $2\times 4$, и длинная полоса $10\times 1$.

Детали не налезают друг на друга и не выходят за лист, поэтому вместе они занимают не больше площади всего листа — $100\ \text{м}^2$. Обозначим площадь одной детали буквой $S$. Тогда

Ещё одно: деталь целиком лежит на листе $10\times 10$, поэтому и её ширина, и её высота не больше $10$ м.

Вывод: площадь детали $S\le 10\ \text{м}^2$, а её стороны не длиннее $10$ м.

Режем новый лист рядами

Возьмём новый лист: обе его стороны не меньше $10$ м, площадь $220\ \text{м}^2$. Самый простой способ — резать рядами. Кладём детали вплотную вправо от левого нижнего угла, пока они помещаются; пусть в ряд поместилось $m$ деталей. Над этим рядом кладём такой же ряд, потом ещё один — пусть поместилось $n$ рядов. Всего вырезано

Хотя бы одна деталь в ряд помещается: её ширина не больше $10$ м, а ширина листа не меньше $10$ м. Так же помещается хотя бы один ряд. Значит, $m\ge 1$ и $n\ge 1$ — вот для чего условие «стороны не меньше 10 м».

Почему нельзя просто разделить площади, $220:10=22$? Потому что у краёв листа остаются полосы, в которые деталь уже не влезает, и они бывают огромными. Пусть станок режет детали $10\times 1$ (из листа $10\times 10$ — как раз 10 полос), а новый лист шириной $19{,}5$ м и высотой $220:19{,}5\approx 11{,}28$ м. Вторая деталь в ряд не влезает: $2\cdot 10=20>19{,}5$. Рядов $11$ — всего $11$ деталей, а справа пропадает полоса шириной $9{,}5$ м, почти половина листа (рисунок ниже).

Значит, доказать нужно вот что: всегда $m\cdot n\ge 11$.

Ещё один столбец и ещё один ряд

Мешают остатки у краёв: из-за них вырезанные детали занимают меньше, чем весь лист, и неизвестно насколько. Попробуем остатки не отрезать, а накрыть.

Число $m$ — это сколько деталей поместилось в ряд. Значит, $(m+1)$-я деталь уже не помещается: $m+1$ деталей в ряд длиннее листа. Так же $n+1$ рядов выше листа.

Добавим мысленно справа ещё один столбец деталей, а сверху ещё один ряд. Получится сетка: $m+1$ деталей в ряд и $n+1$ рядов. Она вылезает и за правый, и за верхний край листа, поэтому накрывает весь лист и даже больше. Значит, её площадь больше площади листа:

Каждая деталь не больше $10\ \text{м}^2$ (шаг 1), поэтому

Делим на $10$: $(m+1)(n+1)>22$. Число деталей в сетке целое, поэтому

Сколько деталей в лишней рамке

В большой сетке хотя бы $23$ детали, но часть из них лишние — мы добавили их мысленно. Чтобы оценить, сколько среди них настоящих, оценим лишние детали через настоящие.

Большая сетка — это $m\cdot n$ настоящих деталей и лишняя рамка-уголок (как цифра 7): ряд сверху из $m$ деталей и столбец справа из $n+1$ деталей. Всего в рамке

Рамка похожа на нижний ряд и левый столбец настоящих деталей, только стоит в противоположном углу. Сравним их (рисунок ниже). В нижнем ряду $m$ деталей, в левом столбце $n$, а угловая деталь у них общая — вместе $m+n-1$ деталей. Рамка ровно на $2$ детали больше:

Нижний ряд и левый столбец есть (ведь $m\ge 1$ и $n\ge 1$), и они — часть всех настоящих деталей, поэтому $m+n-1\le m\cdot n$. Значит, в рамке не больше $m\cdot n+2$ деталей, а во всей большой сетке

Здесь и нужно $m\ge 1$: если в ряд не влезает ни одной детали, рамке не с чем сравниваться. Так бывает на листе $5\times 44$ (он не из условия: сторона $5$ м меньше $10$ м) — деталь $10\times 1$ туда не влезает вообще.

Собираем всё вместе

Из шагов 3 и 4:

поэтому $2\cdot m\cdot n\ge 21$. Число $m\cdot n$ целое, а $2\cdot 10=20<21$, значит,

Рядами из любого такого листа выходит хотя бы 11 деталей — мастеру удастся вырезать 11 деталей.

Где пригодилось каждое условие: «10 деталей из листа $10\times 10$» дало $S\le 10$ и стороны детали не больше $10$ м; «стороны листа не меньше 10 м» — что $m\ge 1$ и $n\ge 1$; «площадь 220» — что в большой сетке хотя бы $23$ детали.

Второй вариант

Условие то же, меняются числа: лист $14\times 14$, $14$ деталей, новый лист — стороны не меньше $14$ м, площадь $420\ \text{м}^2$, нужно $15$ деталей. Рассуждение повторяется шаг в шаг.

Деталь. $14$ деталей поместились на листе $14\times 14$, поэтому $14\cdot S\le 196$, то есть $S\le 14\ \text{м}^2$; стороны детали не больше $14$ м.

Ряды. Режем новый лист рядами: $m$ деталей в ряд, $n$ рядов. Стороны листа не меньше $14$ м, поэтому $m\ge 1$ и $n\ge 1$.

Лишние столбец и ряд. Сетка из $m+1$ деталей в ряд и $n+1$ рядов накрывает лист:

поэтому $(m+1)(n+1)>30$, то есть $(m+1)(n+1)\ge 31$.

Рамка. Как и в первом варианте, в рамке не больше $m\cdot n+2$ деталей, значит, $(m+1)(n+1)\le 2\cdot m\cdot n+2$. Тогда $2\cdot m\cdot n+2\ge 31$, $2\cdot m\cdot n\ge 29$, а так как $2\cdot 14=28<29$, получаем $m\cdot n\ge 15$.

Больше $15$ гарантировать нельзя: детали $14\times 1$ ($14$ полос на листе $14\times 14$) на листе шириной $27{,}5$ м и высотой $420:27{,}5\approx 15{,}27$ м дают рядами ровно $15$ — вторая деталь в ряд не влезает ($2\cdot 14=28>27{,}5$), рядов $15$. И никак иначе больше $15$ таких деталей тоже не вырезать: каждая деталь шириной $14$ м пересекает вертикальную линию посередине листа (в $13{,}75$ м от края) — её левый край не правее $27{,}5-14=13{,}5$ м, а правый не левее $14$ м. На этой линии детали занимают отрезки по $1$ м, которые не налезают друг на друга, а длина линии — около $15{,}27$ м, так что таких деталей не больше $15$.