Задача 2. Таблица в три цвета

Что известно про каждую строку и каждый столбец

Предположим, что такая таблица всё-таки есть, и посмотрим, что из этого следует. Пусть в ней $m$ строк и $n$ столбцов. Самих чисел мы не знаем, но пользоваться ими можем.

В каждой строке $n$ клеток: $12$ красных, $16$ синих, остальные зелёные. Значит, зелёных клеток в каждой строке

Это одно и то же число для всех строк: все строки одной длины. Обозначим его буквой $g$ — в каждой строке ровно $g$ зелёных клеток.

Так же в каждом столбце $m$ клеток: $24$ синих, $20$ зелёных и $m-44$ красных.

Зачем это нужно: перебирать раскраски бесполезно — в таблице сотни и тысячи клеток, а вариантов раскраски невообразимо много. Зато про каждую строку и каждый столбец мы знаем точные количества, и из них можно делать выводы обо всей таблице.

Синие клетки: два подсчёта

Сколько всего синих клеток в таблице? Посчитаем их сначала по строкам: в каждой из $m$ строк по $16$ синих, всего

Теперь по столбцам: в каждом из $n$ столбцов по $24$ синих, всего

Мы дважды посчитали одни и те же клетки, только в разном порядке, поэтому ответы равны:

Обе части делятся на $8$: получаем $2m=3n$. Например, если столбцов $40$, то строк должно быть $60$; если столбцов $42$ — то $63$. Строк в полтора раза больше, чем столбцов.

Как до этого догадаться: условие говорит про один и тот же цвет и «в каждой строке», и «в каждом столбце». Тогда полезно сосчитать все клетки этого цвета обоими способами. В модели это видно в объяснении под кнопкой «Показать, что мешает»: число синих в таблице не меняется, как ни сдвигай строки, — меняется только то, как они распределены по столбцам.

Зелёные клетки: ещё два подсчёта

Так же посчитаем зелёные. По строкам: в каждой из $m$ строк по $g$ зелёных (шаг 1), всего $g\cdot m$. По столбцам: в каждом из $n$ столбцов по $20$ зелёных, всего $20n$. Снова одни и те же клетки:

Обрати внимание: этот подсчёт возможен только потому, что в каждой строке зелёных поровну — это мы выяснили в шаге 1.

Два равенства вместе дают противоречие

Из шага 2 мы знаем, чему равно $2m$: это $3n$. Чтобы воспользоваться этим, умножим обе части равенства $g\cdot m=20n$ на $2$ — тогда слева появится $2m$:

Теперь заменим $2m$ на $3n$:

Столбцов хотя бы один, поэтому обе части можно разделить на $n$:

Но $g$ — число зелёных клеток в строке, то есть целое число, а $40$ на $3$ не делится: $3\cdot 13=39$, $3\cdot 14=42$. Иначе говоря, $20n$ зелёных клеток пришлось бы разложить поровну по строкам, которых в полтора раза больше, чем столбцов, — на каждую строку пришлось бы $\frac{40}{3}=13\frac13$ клетки.

Получили противоречие. Значит, предположение неверно: такую таблицу покрасить нельзя. Мы не перебирали размеры — вывод верен при любом числе строк и столбцов.

Второй вариант

Схема та же, меняются цвета и числа. Пусть в таблице $m$ строк и $n$ столбцов. В каждой строке $24$ белых, $18$ жёлтых и $k=n-42$ чёрных клеток — одинаково во всех строках.

Жёлтые заданы и в строке, и в столбце (как синие в первом варианте). По строкам их $18m$, по столбцам $15n$:

Чёрные — остаток строки (как зелёные). По строкам их $k\cdot m$, по столбцам $12n$, значит, $k\cdot m=12n$. Умножим на $6$ и заменим $6m$ на $5n$:

Но $72$ на $5$ не делится, а $k$ — целое число. Противоречие: такой таблицы нет.

Проверка в числах: при $45$ строках и $54$ столбцах жёлтых $18\cdot 45=810$ и $15\cdot 54=810$, а чёрных по строкам $12\cdot 45=540$, столбцам же нужно $12\cdot 54=648$; при $50$ строках и $60$ столбцах чёрных $18\cdot 50=900$ против $720$. Через белые получается то же: белых в столбце $\frac{24m}{n}=20$, столбец из $15+12+20=47$ клеток, а $6\cdot 47=282$ на $5$ не делится.