Математика · 6 класс · районный тур

Галя, Толя и Валя записали в тетрадях одну и ту же строку из 10 различных букв. Каждый стёр несколько букв в своей тетради. У Гали осталось слово БАСНЯ, у Толи — ДЕНЬ. Могло ли у Вали остаться слово ДЯТЕЛ? Если да — напишите исходную последовательность букв, если нет — объясните, почему не могло.

Докажите, что никакую прямоугольную таблицу не удастся покрасить в три цвета так, чтобы в каждой строке было $12$ красных и $16$ синих клеток (а остальные зелёные), и в то же время в каждом столбце — $24$ синих и $20$ зеленых клеток (а остальные красные).

Арсений написал $10$ троек, дописал справа четверку, потом справа ещё $9$ троек, дописал справа четверку, снова $9$ троек, снова четверку, и так несколько раз, чередуя группы из $9$ троек и четверки, а в конце числа после очередных $9$ троек дописал единицу. Докажите, что получилось составное число.

Мастер закрепляет на стене прямоугольный металлический лист, после чего при помощи станка вырезает из него прямоугольные детали. У листа и всех вырезаемых деталей одна сторона вертикальна, другая горизонтальна. Все вырезаемые станком детали одинаковые, то есть у них равны вертикальные стороны и равны горизонтальные стороны. (Например, если станок вырезает детали $2\,\text{м}\times 3\,\text{м}$, то вырезать деталь $3\,\text{м}\times 2\,\text{м}$ он не может.)

При помощи этого станка из листа $10\,\text{м}\times 10\,\text{м}$ как-то вырезали 10 деталей. Докажите, что из любого прямоугольного металлического листа, стороны которого не меньше 10 м, а площадь равна 220 квадратных метров, мастеру удастся вырезать 11 деталей. (Длины сторон деталей и второго листа не обязательно целые.)