Задача 1. Одна строка — три тетради

Что остаётся после стирания

Стереть букву — значит убрать её, а не передвинуть. Поэтому оставшиеся буквы читаются слева направо в том же порядке, в каком они стояли в строке.

Все $10$ букв строки различны, значит, у каждой буквы в строке ровно одно место. Если у Гали осталось слово БАСНЯ, то в общей строке Б стоит левее А, А левее С, С левее Н, а Н левее Я. Каждое оставшееся слово — это требование к порядку букв в общей строке.

Заметим ещё: Галя стёрла все буквы, кроме Б, А, С, Н и Я, — иначе у неё осталось бы что-то лишнее. Поэтому по строке сразу видно, что останется у каждого: выписываем буквы его слова в том порядке, в каком они стоят в строке. Так модель и «стирает» буквы за ребят.

По числу букв всё сходится

Выпишем все разные буквы трёх слов: Б, А, С, Н, Я — из БАСНЯ; Д, Е, Ь — из ДЕНЬ (Н уже есть); Т, Л — из ДЯТЕЛ (Д, Я и Е уже есть). Получилось ровно $10$ букв — столько же, сколько в строке. Значит, строка состоит как раз из этих букв, и по количеству ничто не мешает. Если что-то и мешает, то порядок.

Двум тетрадям угодить нетрудно. Например, в строке БАДСЕНЯЬТЛ у Гали остаётся БАСНЯ, у Толи — ДЕНЬ, а у Вали — ДЕЯТЛ: буква Я оказалась правее Е (рисунок ниже). Если поставить Я левее Е, ломается тетрадь Гали или Толи. Разберёмся, почему так выходит с любой строкой.

Где слова могут спорить

Одно слово само с собой не спорит: его буквы просто должны стоять в нужном порядке. Спорить могут разные слова — и только через общие буквы: требования двух слов без общих букв касаются разных букв и друг другу не мешают.

Выпишем общие буквы каждой пары слов:

• БАСНЯ и ДЕНЬ — буква Н;

• ДЕНЬ и ДЯТЕЛ — буквы Д и Е;

• ДЯТЕЛ и БАСНЯ — буква Я.

Буква Д стоит первой и в ДЕНЬ, и в ДЯТЕЛ: левее неё ничего стоять не обязано, и спорить из-за неё не о чем. Поэтому возьмём из каждой пары по одной общей букве — Н, Е и Я — и посмотрим, что про них говорят слова.

Три буквы по кругу

Посмотрим, в каком порядке стоят буквы Я, Е, Н там, где они встречаются вдвоём:

• в слове ДЯТЕЛ буква Я левее Е;

• в слове ДЕНЬ буква Е левее Н;

• в слове БАСНЯ буква Н левее Я.

Допустим, у всех троих остались их слова. Тогда в общей строке Я левее Е, а Е левее Н, — значит, Я левее Н. Но по слову БАСНЯ буква Н левее Я. Буква Я не может стоять и левее, и правее буквы Н: у каждой из них в строке одно место. Противоречие.

Требования идут по кругу: Я левее Е, Е левее Н, Н левее Я. Двигаясь по строке только вправо, к той же букве не вернёшься — поэтому такой строки нет.

Ответ и что в условии важно

Итак, если у Гали осталось БАСНЯ, а у Толи — ДЕНЬ, то у Вали не могло остаться ДЯТЕЛ — какой бы ни была строка.

Доказательство опирается на то, что каждая буква стоит в строке один раз. В условии это обеспечено дважды: буквы строки различны, и мест в строке всего $10$ — ровно столько, сколько разных букв в трёх словах, так что повторить букву просто негде.

Ответ меняется, только если снять оба ограничения. В строке БАСДЯТЕНЯЬЛ ($11$ букв, Я встречается дважды) первая Я нужна Вале, вторая — Гале, и остаются все три слова. Короче $11$ букв такой строки нет: в ней все $10$ букв стояли бы по одному разу, а этот случай мы уже разобрали.

Второй вариант

Во втором варианте у Маши осталось СВЕТ, у Гоши — ПАРУС, а спрашивают, могло ли у Саши остаться ОВЦА. Рассуждение то же самое.

В трёх словах снова ровно $10$ различных букв: С, В, Е, Т, П, А, Р, У, О, Ц, — по количеству всё сходится, мешать может только порядок. Общие буквы пар слов: у СВЕТ и ПАРУС — С, у ПАРУС и ОВЦА — А, у ОВЦА и СВЕТ — В. Сравним буквы В, А, С:

• в слове ОВЦА буква В левее А;

• в слове ПАРУС буква А левее С;

• в слове СВЕТ буква С левее В.

Если бы остались все три слова, в строке В стояла бы левее А, а А — левее С, значит, В левее С. Но по слову СВЕТ буква С левее В. Противоречие: требования снова идут по кругу В → А → С → В.

Ответ: не могло. Перебор всех перестановок десяти букв это подтверждает: любые два слова совместимы (например, в строке ОПАРУСВЕЦТ остаются СВЕТ и ПАРУС, а у Саши — ОАВЦ), а все три — ни в одной строке.