Задача 2. Весы неравенства

Сравним через разность

Доказать, что одно выражение не меньше другого, — то же самое, что доказать, что их разность не меньше нуля. Вычтем из левой части правую и поставим рядом слагаемые с одинаковыми числами впереди:

Зачем так группировать? В первой скобке — квадраты с одним и тем же множителем $3$, во второй — произведения с одним и тем же множителем $5$ и общей буквой $c$. Каждую такую пару можно записать короче, вынеся общий множитель.

Сравнивать слагаемые по отдельности бесполезно: $3a^2 \geq 3b^2$, но $5bc \leq 5ac$ — один выигрыш у левой части, другой у правой, и непонятно, какой больше.

Общий множитель $a-b$

Подсказка, какой множитель искать: если $a=b$, левая и правая части просто совпадают, и разность равна нулю. Значит, в разности должен «сидеть» множитель $a-b$.

В первой скобке вынесем $3$ и применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

Во второй скобке вынесем $5c$:

Теперь в обоих слагаемых есть $a-b$, вынесем его за скобки:

Проверим на числах $a=5$, $b=4$, $c=2$: левая часть $3\cdot25+5\cdot4\cdot2=115$, правая $3\cdot16+5\cdot5\cdot2=98$, разность $17$. И по формуле: $(5-4)(15+12-10)=1\cdot17=17$.

Знак каждого множителя

Первый множитель. $a-b\geq0$, потому что $a\geq b$.

Второй множитель. По условию $c$ — наименьшее число: $a\geq c$ и $b\geq c$. Умножим на $3$ и сложим: $3a+3b\geq3c+3c=6c$. Поэтому

Здесь использовано всё условие: порядок чисел дал $3a+3b\geq6c$, а положительность $c$ — что запас $6c-5c=c$ больше нуля.

Произведение неотрицательного числа $a-b$ и положительного числа $3a+3b-5c$ не меньше нуля. Значит,

то есть $3a^2+5bc\geq3b^2+5ac$, что и требовалось доказать.

Когда равенство и зачем порядок

Второй множитель всегда положителен, поэтому разность равна нулю ровно тогда, когда $a-b=0$, то есть $a=b$ (и $c$ любое, не больше $b$). Например, при $a=b=3$, $c=1$ обе части равны $27+15=42$.

Условие о порядке в задаче нужно. При $a=1$, $b=2$, $c=1$ (здесь $a<b$) левая часть $3+10=13$ меньше правой $12+5=17$: первый множитель $a-b=-1$ отрицателен. При $a=3$, $b=2$, $c=4$ (здесь $c$ наибольшее) левая часть $27+40=67$ меньше правой $12+60=72$: теперь отрицателен второй множитель $9+6-20=-5$.

Заметь, что запаса $6c$ против $5c$ хватило бы и при множителе $6$ вместо $5$: тогда вторая скобка была бы не меньше $6c-6c=0$.

Второй вариант

Неравенство того же вида, но порядок чисел обратный — теперь $z$ наибольшее, — а вместо $5$ стоит $7$. Те же шаги 1–2 дают

Теперь оба множителя не больше нуля:

• $x-y\leq0$, потому что $x\leq y$;

• $x\leq z$ и $y\leq z$, поэтому $3x+3y\leq6z$, то есть $3x+3y-7z\leq 6z-7z$, а $6z-7z=-z<0$.

Произведение двух чисел, каждое из которых не больше нуля, не меньше нуля. Значит, $3x^2+7yz\geq3y^2+7xz$. Равенство — только при $x=y$, ведь вторая скобка всегда отрицательна.

Проверка на числах $x=2$, $y=3$, $z=5$: $12+105=117$ и $27+70=97$, разность $20=(2-3)(6+9-35)=(-1)\cdot(-20)$. Без порядка неравенство может нарушиться: при $x=2$, $y=1$, $z=2$ левая часть $12+14=26$ меньше правой $3+28=31$. Здесь запас обратный: $7z$ больше $6z$, поэтому $7$ можно заменить любым числом не меньше $6$.