Задача 1. Переполненные школы

Сколько девочек в школе № 1

Сейчас в школе № 1 на $1450 - 800 = 650$ детей больше, чем мест, а в школе № 2 — на $1350 - 900 = 450$. Назовём это перебором: школа № 1 переполнена на $650$, школа № 2 — на $450$.

Когда одна девочка переходит из школы № 1 в школу № 2, перебор первой школы уменьшается на $1$, а второй — увеличивается на $1$. Разница переборов $650 - 450 = 200$ при этом сокращается на $2$. Чтобы переборы сравнялись, должно перейти

Это треть девочек школы № 1, значит, там учится $3 \cdot 100 = 300$ девочек.

Проверим: в школе № 1 стало бы $1450 - 100 = 1350$ детей на $800$ мест, в школе № 2 — $1350 + 100 = 1450$ детей на $900$ мест. Обе школы переполнены, и одинаково — на $550$ детей. Другого числа нет: при любом другом числе перешедших переборы разные.

Кто где может учиться после стройки

Обозначим через $g$ число девочек в школе № 2. Тогда девочек в посёлке $300 + g$, а всего детей

поэтому мальчиков

Мест после стройки $800 + 900 + 1300 = 3000$ — больше, чем детей. Но это ещё ничего не гарантирует: новая школа — только для девочек. Мальчики могут учиться лишь в школах № 1 и № 2, а там вместе $800 + 900 = 1700$ мест.

Оценка: мальчики должны поместиться

Пусть детей расставили так, что ни одна школа не переполнена: в школе № 1 не больше $800$ детей, в школе № 2 — не больше $900$. Все мальчики учатся в этих двух школах, значит, мальчиков не больше $1700$:

Итак, в школе № 2 не меньше $800$ девочек. Например, при $g = 799$ мальчиков было бы $1701$, и хотя бы одному из них не хватило бы места в старых школах.

Пример: 800 девочек хватает

Пусть в школе № 2 учится $800$ девочек и $1350 - 800 = 550$ мальчиков. Тогда девочек в посёлке $300 + 800 = 1100$, мальчиков $2800 - 1100 = 1700$.

Расставим детей:

• все $1100$ девочек — в школу для девочек ($1100 \le 1300$);

• $800$ мальчиков — в школу № 1 ($800$ мест);

• $900$ мальчиков — в школу № 2 ($900$ мест).

Старые школы заполнены до последнего места, но не переполнены: детей в них ровно столько, сколько мест. Первая часть условия не меняется — она зависит только от $300$ девочек школы № 1.

Ответ: $800$ девочек.

Второй вариант

Во втором варианте всё зеркально: особая группа — мальчики, переходит пятая часть мальчиков из школы № 2 в школу № 1, построена школа для мальчиков, а спрашивают про мальчиков школы № 1.

Сейчас школа № 1 переполнена на $1250 - 800 = 450$, школа № 2 — на $1350 - 700 = 650$. Разница $200$, каждый переход сокращает её на $2$, значит, перейти должно $100$ мальчиков — пятая часть, поэтому в школе № 2 учится $5 \cdot 100 = 500$ мальчиков. Проверка: $1250 + 100 = 1350 = 800 + 550$ и $1350 - 100 = 1250 = 700 + 550$.

Пусть в школе № 1 учится $b$ мальчиков. Всего детей $1250 + 1350 = 2600$, мальчиков $500 + b$, девочек

Девочек в школу для мальчиков не возьмут, им остаются школы № 1 и № 2 — там $800 + 700 = 1500$ мест. Поэтому

Пример: $b = 600$. Мальчиков $500 + 600 = 1100$ — все в школу для мальчиков ($1100 \le 1300$), девочек $1500$ — $800$ в школу № 1 и $700$ в школу № 2. Никто не переполнен, а $600 \le 1250$ — столько мальчиков в школе № 1 могло учиться.

Ответ: $600$ мальчиков. (Если считать переполненной и заполненную до отказа школу, получилось бы $602$.)