Математика · 8 класс · районный тур

В школе № 1 посёлка Метёлкино 800 мест, а учится 1450 учеников, а в школе № 2 — 900 мест, а учится 1350 учеников. Если бы треть девочек из школы № 1 перешла в школу № 2, то обе школы оказались бы переполнены на одинаковое число детей. После того, как в Метёлкино построили школу для девочек на 1300 мест, выяснилось, что можно перераспределить детей по школам так, что переполненных школ не будет. Какое наименьшее число девочек могло учиться в школе № 2 до постройки новой школы?

Для положительных чисел $a \geq b \geq c$ докажите, что

Федя изучает некое натуральное число $N$. Он утверждает, что при любом разбиении числа 4000 в сумму двух различных натуральных слагаемых число $N$ делится ровно на одно из них. Докажите, что он ошибается.

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BL$. На отрезке $CL$ выбрана такая точка $E$, что $CL\cdot EL=AL^2$. Оказалось, что $BC=CE+AB$. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

Из белой доски $100\times 100$ вырезали клетки, лежащие на пересечении строк с четными номерами и столбцов с нечетными номерами. За один ход Катя закрашивает две соседние по стороне (невырезанные) клетки доски: одну в красный цвет, а другую — в зеленый. Уже закрашенную ранее клетку разрешается закрашивать снова (в том числе и в другой цвет), но каждую клетку можно закрашивать не более двух раз. Краски непрозрачные: например, клетка, покрашенная красным поверх зеленого, становится красной. Какое наибольшее количество зеленых клеток может оказаться на доске через несколько ходов?