Задача 3. Шарики в хороводе

Кто что оставляет и что получает

Назовём ребёнка одноцветным, если на самом деле у него оказалось три шарика одного цвета.

После любой такой передачи у каждого ребёнка два шарика остаются свои, а третий приходит от соседа. Если бы все выполнили просьбу учительницы, каждый отдал бы указанный шарик соседу справа и получил бы шарик от соседа слева. На самом деле каждый отдал какой-то шарик соседу слева и получил шарик от соседа справа.

Без просьбы учительницы одноцветными могли бы стать все: например, если у всех три красных шарика. Значит, всё решение держится на условии, что по просьбе у каждого из $30$ детей оказалось бы три разных цвета. Поэтому разберёмся, что это условие говорит об одноцветном ребёнке и о его соседях.

Каким был одноцветный ребёнок вначале

Пусть ребёнок одноцветный и в конце у него три красных шарика. Два из них — его собственные, значит, вначале у него было хотя бы два красных.

Трёх красных у него быть не могло: по просьбе он отдал бы один шарик и оставил бы себе два красных — трёх разных цветов не вышло бы. Значит, у него было два красных и один шарик другого цвета, скажем, жёлтый.

На самом деле он оставил себе оба красных, то есть отдал соседу слева жёлтый, а от соседа справа получил красный.

А по просьбе учительницы он должен отдать соседу справа красный: отдай он жёлтый, у него остались бы два красных.

Сосед справа одноцветным быть не может

Теперь посмотрим на соседа справа от одноцветного ребёнка (того, у которого в конце три красных).

На самом деле этот сосед отдал ему красный шарик — значит, красный у соседа есть. А по просьбе сосед сам получает от одноцветного красный (шаг 2). Чтобы у соседа по просьбе оказалось три разных цвета, у него не должно остаться своего красного. Поэтому красный шарик у соседа один, по просьбе он отдаёт именно его, а два других его шарика — разных цветов и оба не красные.

На самом деле сосед отдал тот же единственный красный и оставил себе два шарика разных цветов. Что бы он ни получил, трёх одинаковых у него не будет.

Итак, справа от одноцветного всегда стоит не одноцветный: двое соседей не бывают одноцветными одновременно.

Больше 15 не бывает

Разобьём $30$ детей на $15$ пар соседей: №1 и №2, №3 и №4, …, №29 и №30 (номера идут по кругу вправо). В каждой паре дети стоят рядом, поэтому одноцветным может быть не больше одного из двух. Значит, одноцветных не больше

Десять цветов для этой оценки не понадобились: она верна при любом числе цветов.

Пример, где одноцветных ровно 15

Чтобы получить $15$, одноцветными должны быть дети через одного — например, все с нечётными номерами. Шаги 2 и 3 подсказывают, как их устроить: у одноцветного два шарика одного цвета и один другого, по просьбе он отдаёт шарик своей пары, а на самом деле — другой; его сосед справа держит три разных цвета и оба раза отдаёт шарик цвета этой пары.

Сосед справа передаёт по просьбе цвет пары дальше, следующему одноцветному, а тому по просьбе нужен третий цвет, не из его пары. Значит, у соседних одноцветных пары разного цвета. Двумя цветами по очереди $15$ пар не раскрасить — по кругу $15$ нечётно, поэтому возьмём три цвета: красный (К), жёлтый (Ж) и синий (С). Вот шестеро детей; их повторим по кругу $5$ раз, ведь $30 = 5 \cdot 6$:

• №1: К, К, Ж — по просьбе отдаёт К, на самом деле Ж;

• №2: К, Ж, С — отдаёт К (и по просьбе, и на самом деле);

• №3: Ж, Ж, С — по просьбе отдаёт Ж, на самом деле С;

• №4: К, Ж, С — отдаёт Ж;

• №5: С, С, К — по просьбе отдаёт С, на самом деле К;

• №6: К, Ж, С — отдаёт С.

По просьбе у каждого оказались бы К, Ж, С, а на самом деле одноцветными стали все $15$ детей с нечётными номерами (проверка — ниже). Ответ: $15$.

Второй вариант

Во втором варианте $40$ детей и шесть цветов, а направления поменялись: по просьбе каждый передаёт шарик соседу слева, на самом деле — соседу справа. Рассуждение то же, только зеркальное.

Одноцветный ребёнок (пусть в конце у него три красных) вначале держал два красных и один шарик другого цвета; на самом деле он отдал этот другой шарик вправо и получил красный от соседа слева, а по просьбе должен отдать влево красный.

Сосед слева на самом деле отдал ему красный, а по просьбе сам получает от него красный. Значит, по просьбе сосед слева отдаёт свой единственный красный и оставляет два шарика разных цветов, а на самом деле отдаёт тот же красный — одноцветным он быть не может. Двое соседей не бывают одноцветными оба, и в каждой из $20$ пар (№1 и №2, …, №39 и №40) не больше одного одноцветного: их не больше $\frac{40}{2} = 20$.

Пример на $20$: одноцветные — нечётные номера, блок из четырёх детей повторяется $10$ раз ($40 = 10 \cdot 4$):

• №1: К, К, Ж — по просьбе отдаёт К, на самом деле Ж;

• №2: К, Ж, С — отдаёт С (и по просьбе, и на самом деле);

• №3: С, С, Ж — по просьбе отдаёт С, на самом деле Ж;

• №4: К, Ж, С — отдаёт К.

По просьбе (влево): №1 оставляет К, Ж и получает С от №2; №2 — К, Ж и С от №3; №3 — С, Ж и К от №4; №4 — Ж, С и К от №5 (он как №1). У всех три разных цвета. На самом деле (вправо): №1 оставляет К, К и получает К от №40 (он как №4); №3 — С, С и С от №2; у №2 — К, Ж, Ж, у №4 — Ж, С, Ж. Ответ: $20$.

Отличие от первого варианта: одноцветных $20$ — чётное число, поэтому цвета их пар можно просто чередовать (К, С, К, С, …), и хватает блока из четырёх детей; в первом варианте $15$ пар по кругу двумя цветами не раскрасить, и блок — из шести детей с тремя цветами пар.